文档介绍：1
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本章先讨论矩阵的初等变换,建立矩阵的秩的概念,,,难度较大.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩阵的初等变换
§2 初等矩阵
§3 矩阵的秩
§4 线性方程组的解
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§1 矩阵的初等变换
引例
用消元法解线性方程组
①
②
③
④
解:
(1)
①
②
③÷2
①
②
③
④
②-③
③-2①
④-3①
①
②
③
④
( )
( )
一、消元法解线性方程组
4
②÷2
③+5②
④-3②
①
②
③
④
( )
①
②
③
④
( )
③
④
④-2③
①-②
②-③
①
②
③
④
( )
①
②
③
④
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定义1
矩阵的初等行变换
(i)对调两行
注:
矩阵的初等列变换
矩阵的初等变换
初等行变换
初等列变换
矩阵的三种初等变换都可逆
就是本身;
(ii)
第 i 行乘非零数k
(iii)
第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
逆变换
逆变换
逆变换
二、矩阵的初等变换(Elementary Transformation)
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矩阵 A 与矩阵 B 等价
(A B):
等价关系性质:
(i)反身性
A A;
(ii)对称性
若A B,则B A;
(iii)传递性
若A B,B C,则A C.
具有上述三条性质的关系称为等价.
有限次初等变换
矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B。
即:
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行阶梯形矩阵:
(i)可画出一条阶梯线,线的下方全为零;
(ii)每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,
竖线后第一个元素为非零元.
如:
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行最简形矩阵:
(i)是一个行阶梯形矩阵;
(ii)每行第一个非零元为1,该元素所在的列的其它元素
都为0。
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