文档介绍：§ 基本不等式及其应用
基础知识自主学****br/>要点梳理
对于正数a,b,我们把称为a,b的算术平均
数, 称为a,b的几何平均数.
:
(1)基本不等式成立的条件: .
(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.
(3)结论:两个正数a,b的算术平均数其
几何平均数.
a≥0,b≥0
a=b
不小于
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
设x,y都是正数.
(1)如果积xy是定值P,那么当时,和x+y有
最小值.
(2)如果和x+y是定值S,那么当时积xy有最
大值. 即“一正、二定、三相等”,这三
个条件缺一不可.
2
x=y
x=y
基础自测
≠0,a,b∈R,则下列式子中总能成立的
是.
解析①中不能保证为正,③中
未必为负,②显然错误.
④
+3y-2=0,则3x+27y+1的最小值为.
解析∵x+3y-2=0,∴x+3y=2.
又3x+27y+1=3x+33y+1≥
当且仅当3x=33y,
即x=3y=1,x=1,y= 时取等号.
7
.
解析
即x=10,y=6时,xy有最小值60.
,y为正数,则的最小值为.
解析∵
≥5+2×2=9当且仅当y=2x时取得最小值9.
60
9
【例1】(1)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(2)已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
求证:
证明(1)∵a>0,b>0,a+b=1,
所以原不等式成立.
(2)∵x、y、z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
将①②③三式相乘,得
跟踪练****1 (1)已知x>0,y>0,z>0.
求证:
(2)求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
证明(1)∵x>0,y>0,z>0,
(当且仅当x=y=z时等号成立)
(2)∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,
∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,
又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,
c2a2+a2b2≥2a2bc,
∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),
即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc
=abc(a+b+c).
∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
【例2】(1)已知x>0,y>0,且求x+y
的最小值;
(2)已知x< ,求函数的最
大值;
(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最
小值.
(1)注意条件中“1”的代换,也可用三
角代换.
(2)因为4x-5<0,所以要先“调整”符号;
又(4x-2)· 不是常数,所以对4x-2要添
项“配凑”.
分析