文档介绍：初中数学
第五章 -;反比例函数的图象与性质;反比例函数的应用
编稿老师
董志臣
一校
程文军
二校
杨雪
审核
郑建彬
成反比与反比例函数
一、考点突破
1. 掌握成反比例、反比例函数的定义及常数k的取值范围。
2. 能够灵活应用反比例函数的不同表示方式解决问题。
3. 能够利用反比例函数定义列出相应的函数关系式。
二、重难点提示
重点:反比例函数定义及不同表示方式。
难点:在综合性问题中列出反比例函数关系式。
1. 成反比例
两种相关联的量,一种量随另一种量的变化而变化,但这两种量的积是个不变的常数。这时,这两种量是成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
2. 反比例函数
一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表达成(k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。特别地,反比例函数的自变量x不能为零。
【重要提示】
反比例函数三种表示形式:(1)(k≠0);(2)xy=k(k≠0);(3)y=kx-1(k≠0)。
3. 反比例函数定义及各种形式的应用
在利用反比例函数定义类的****题中,要注意反比例函数定义中k≠0这个条件,利用本条件筛选结果;在几何类问题中应用反比例函数定义时,要注意与几何图形的性质、全等、相似、勾股定理等知识的综合性应用。
例题1 (滨州)下列函数:①y=2x-1;②y=-;③y=x2+8x-2;④y=;⑤y=;⑥y=;⑦xy=10中,y是x的反比例函数的有(填序号)。
思路分析:根据反比例函数的定义,反比例函数的一般式是y=(k≠0),即可判定
各函数的类型是否符合题意。
答案:解:①y=2x-1是一次函数,不是反比例函数;
②y=-是反比例函数;
③y=x2+8x-2是二次函数,不是反比例函数;
④y=不是反比例函数;
⑤y=是反比例函数;
⑥y=,当a≠0时,是反比例函数,若没有此条件则不是反比例函数;
⑦xy=10可以转化为y=(k为常数,k≠0)的形式,所以是反比例函数。
故答案为:②⑤⑦。
技巧点拨:同学们解答本类****题时,要理解好反比例函数的定义,关键是掌握反比例函数:形如y=(k为常数,k≠0)的定义,同时注意另外两种表达形式xy=k(k≠0)、y=kx-1(k≠0)。
例题2 (安顺)若y=是反比例函数,则a的取值为( )
A. 1 B. -l C. ±l D. 任意实数
思路分析:先根据反比例函数的定义列出关于a的不等式组,即可求出a的值。
答案:解:∵此函数是反比例函数,
∴a+1≠0,a2−2=−1,解得a=1。
故选A。
技巧点拨:本题考查的是反比例函数的定义,即形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数。
例题3 (江西模拟)已知反比例函数的解析式为y=,则最小整数k= 。
思路分析:根据反比例函数的意义,可得分子是大于零的整数,可得答案。
答案:解:由反比例函数的解析式为y=,得≥1,解得k≥1,故答案为1。
技巧点拨:本题考查了反比例函数的定义,分子是大于零的整数是解题的关键。
反比例函数定义的综合应用
在综合性问题中,讨论反比例函数时,要注意给出的变量如果为线段,多数****题要应用相似三角形的相似比得出等式,再利用比例的性质进行关系的转换,从而得到函数关系式。
【针对训练】(莱芜)如图,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动。设BD=x,CE=y。
(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数关系式;
(2)如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α,β满足怎样的关系时,(1)中y与x之间的函数关系式还成立?试说明理由。
思路分析:(1)利用等腰三角形的性质,得∠ABD=∠ACE=105°,利用等量代换求得∠CAE=∠ADB,故△ADB∽△EAC后,得=,即=所以y=;
(2)要使y=,即=成立,则要△ADB∽△EAC,由于∠ABD=∠ECA,故只须∠ADB=∠EAC,利用三角形的内角和与邻补角的概念,求得∠EAC+∠BAD=β-α,∠ADB+∠BAD=∠ABC=90°-,所以只90°-=β-α,须即β-=90°。
答案:解:(1)在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠ABD=∠ACE=105°,
∵∠DAE=105°,
∴∠DAB+∠CAE=75°,
又∵∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,
∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC,
∴=即=,所以y=;
(2)当α、β满足关系式β-=90°时,函数关系式y=成立,理由如下:
∵β-=90°,
∴β-α=90°-。
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB=β-α-∠DAB,