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依测度收敛于2sign(x.)故在L2[-1,1中],fn(x)→|x|,f’n(x)→2sign(x).因此,它们都是L2[-1,1中]的基本列,故[-1,1]|fn(x)f-m(x)|2dx→0(m,n→∞);[-1,1]|f’n(x-)fm’(x)|2dx→0(m,n→∞).故||fn-fm||1=(?[-1,1](|ffnm(x(x))-|2+|f’n(-xf)m’(x)|2)dx)1/2→0(m,n→∞).{即fn是}C1[-1,1中]{fn不}是C1[-1,1中],设{fn在}C1[-1,1中]的收敛于f∈C1[-1,1.]因||fn-f||1=(?[-1,1](|fn(fx(x))-|2+|f’n(x-)f’(x)|2)dx)1/2≥(?[-1,1]|fn(x)-f(x)|2dx),1/2故在L2[-1,1中],fn(x)→[-1,1中],fn(x)→|x|;由L2[-1,1中]极限的唯一性以及f的连续性,知f(x)=|x.|这样就得到f?C1[-1,1,],{fn不}是C1[-1,1中][-1,1不][a,b],只要令fn(x)=(x-(a+b)/2)2+1/n2)1/2(?x∈[a,b])就可以做同样的讨论,就可以证明C1[a,b]不是:..[0,1]中,对每个f∈C[0,1],令||f||1=(?[0,1]|f(x)|2dx),1/2||f||2=(?[0,1](1+x)|f(x)|2dx)1/:||·||1和||·||2是C[0,1]:(1)||·||1是C[0,1]||·||2是C[0,1]中的范数,我们仍然只要验证三角不等式.||f||2+||g||2=(?[0,1](1+x)|f(x)|2dx)1/2+(?[0,1](1+x)|g(x)|2dx)1/2=||(1+x)1/2f(x)||1+||(1+x)1/2g(x)||1≥||(1+x)1/2f(x)+(1+x)1/2g(x)||1=||(1+x)1/2(f(x)+g(x))||1≥(?[0,1](1+x)|f(x)+g(x)|2dx)1/2=||f+g||,||·||2也是C[0,1]中的范数.(2)我们来证明两个范数的等价性.?f∈C[0,1]||f||1=(?[0,1]|f(x)|2dx)1/2≤(?[0,1](1+x)|f(x)|2dx)1/2=||f||,2||f||2=(?[0,1](1+x)|2|dfx(x))1/2≤2(?[0,1]|f(x)|2dx)1/2=2||f||.[0,∞)表示[0,∞)上连续且有界的函数f(x)全体,对每个f∈BC[0,∞)及a>0,定义||f||a=(?[0,∞)-aex|f(x)|2dx)1/.2(1)求证||·||a是BC[0,∞)上的范数.(2)若a,b>0,a≠b,求证||·||a与||·||b作为BC[0,∞):(1)依然只验证三角不等式.||f||a+||g||a=(?[0,∞-a)xe|f(x)|2dx)1/2+(?[0,∞-)axe|g(x)|2dx)1/2:..=||e-ax/2f(x)||L2+||e-ax/2g(x)||L2≤||e-ax/2f(x)+e-ax/2g(x)||L2=||e-ax/2(f(x)+g(x))||L2=(?[0,∞)-eax|f(x)+g(x)|2dx)1/2=||f+g|,|a所以||·||a是BC[0,∞)上的范数.(2)设fn(x)为[n,+∞)∈BC[0,∞),且||fn||a=(?[0,∞)-aex|fn(x)|2dx)1/2=(?[n,∞-a)xedx)1/2=((1/a)e-an)1/,||fn||b=((1/b)e-bn)1/.2故若a<b,则||fn||a/||fn||b=(b/a)1/2e-(ba)n-/2→+∞(n→+∞).因此||·||a与||·||b作为BC[0,∞),X2是两个B*空间,x1∈X1和x2∈X2的序对(x1,x2)全体构成空间X=X1?X2,并赋予范数||x||=max{||x1||1,||x2,||2}其中x=(x1,x2,)x1∈X1,x2∈X2,||·||1和||·||:如果X1,X2是B空间,:(1)先验证||·||=(x1,x2),y=(y1,y2)∈X1?X2,则||x+y||=||(x1+y1,x2+y2)||=max{||x1+y1||1,||x2+y2||2}≤max{||x1||1+||y1||1,||x2||2+||y2||2}≤max{||x1||1,||x2||2}+max{||y1||1,||y2||2}=||(x1,x2)||+||(y1,y2)||=||x||+||y,||而||·||的正定性和齐次性是显然的,:..所以,||·||是X1?X2的范数.(2)设X1,X2是B空间,(n)=(x1(n),x2(n)是)X=X1?X2中的基本列,则||x(n)-x(m)||=max{||x1(n)-x1(m)||1,||x2(n)-x2(m)||2}≥||x1(n)-x1(m)||1,故{x1(n)}是X1中的基本列,同理,{x2(n)},X2是B空间,故{x1(n)}和{x2(n)}分别是X1,(n)→x1∈X1,x2(n)→x2∈X2,令x=(x1,x2.)则||x(n)-x||=max{||x1(n)-x1||1,||x2(n)-x2||2}≤||x1(n)-x1||1+||x2(n)x2-||2→0(n→∞).所以,||x(n)-x||→0(n→∞).即{x(n)为}X=X1?=X1?*:X是B空间,必须且只须对?{xn}?X,∑n≥1||xn||<+∞?∑n≥:(?)?{xn}?X,记Sn=∑1≤j≤nxj,Bn=∑1≤j≤n||xn||,则||Sn+pS-n||=||∑1≤j≤n+p-∑x1j≤j≤nxj||=||∑n+1≤j≤n+pxj||≤∑n+1≤j≤n+p||xj||=Bn+pB-n→0,(n→∞).故{Sn为},故{Sn为}X中的收敛列,即∑n≥1xn收敛.(?)(X,ρ)不完备,设(Y,d为)(X,ρ)(X,ρ)是(Y,d的)子空间,则存在y∈Y\(X)=,Y故?n∈+,存在xn∈X,使得d(xn,y)<1/(xn,xm)=d(xn,xm)≤d(xn,y)+d(xm,y)≤2n1+/1/2m→0,因此{xn}是X中的Cauchy列,=xn+1-x,nSn=∑1≤j≤nzj;则zn,Sn∈X.:..因||zn||=||xn+x1-n||=ρ(xn+1,xn)≤d(xn+1,y)+d(xn+1,y)≤1/2n+1+1/2n<1/2-n1,故∑n≥1||zn||<+∞.而Sn=∑1≤j≤nzj=∑1≤j≤n(x-xj+j1)=xn+1-x;1故∑n≥[a,b]:?f(x)∈C[a,b],存在P0(x)∈n,使得maxa≤x≤b|f(x)–P0(x)|=min{maxa≤x≤b|f(x)–P(x)||P∈n}.证明:注意到n是B*空间C[a,b]中的n+1维子空间.{1,x,x2,...,xn是}n中的一个向量组,把它看成C[a,b],,对任意?f(x)∈C[a,b],存在最佳逼近系数{λ0,λ1,...,λn},使得||f(x)–∑0≤j≤nλjxj||=min{||f(x)–∑0≤j≤najxj|||(a0,a1,...,an)∈n+1}.令P0(x)=∑0≤j≤,对?x=(x1,x2)∈2,定义范数||x||=max(|x1|,|x2|,)并设||x0–λe1||.e1=(1,0,)x0=(0,1.)求a∈适合||x0–ae1||=minλ∈并问这样的a是否唯一?:g(λ)=||x0–λe1||=||(0,1)–λ(1,0)||=||(–λ,1)||=max(|λ|,1)≥1,故g(λ)当|λ|≤=:||x+y||=||x||+||y||(?x≠θ,y≠θ)?x=cy(c>0).证明:(?)设范数是严格凸的,若x,y≠θ满足||x+y||=||x||+||y|,|事实上,我们总有||(x/||x||)||=||(y/||y||)||.=1因x,y≠θ,故||x||+||y||>,所0以||x+y||≠||x||/||x+y||+||y||/||x+y.||=1:..假若x/||x||≠y/||y||,由严格凸性,得到||(||x||/||x+y||)(x/||x||)+(||y||/||x+y||)(y/||y||)||<,1即||((x+y)/||x+y||)||,</||x||=y/||y,|即|x=(||x||/||y||.)y(?)设?x,y≠θ,||x+y||=||x||+|蕴|y涵||x=cy(c>.0)≠y,且||x||=||y||=,又1设α,β∈(0,1),且α+β=||αx+βy||≤||αx||+||βy||=α||x||+β||y||=α+β=||αx+βy||=1,根据我们的条件,就得到αx=c(βy),其中c>,就有||αx||=||c(β|y|,)而||x||=||y||=,所1以α=cβ;故x=y,这就与x≠||αx+βy||<1,,函数?:X→1称为凸的,如果不等式(λx+(1-λ)y)≤λ?(x)+-(λ1)?(y)(?0≤λ≤1):设x0是凸函数?∈X,使得?(x)<?(x,0)则?t∈(0,1),(tx+(1t-)x0)≤t?(x)+-t(1)?(x0)<t?(x0)+(1-t)?(x0)=?(x0.)而对x0的任意邻域U,都存在t∈(0,1),使得tx+(1-t)x0∈?x∈X,都有?(x0)≤?(x),即x0是?(X,||·||)是一线性赋范空间,M是X的有限维子空间,{e1,e2,...,e是n}M的一组基,给定g∈X,引进函数F:n→1.?对c=(c1,c2,...,cn)∈n,规定F(c)=F(c1,c2,...,cn)=||∑1≤i≤nc-gie||.i:..(1)求证F是一个凸函数;(2)若F的最小值点是c=(c1,c2,...,c,n)求证f=∑1≤i≤:(1)设c=(c1,c2,...,cn),d=(d1,d2,...,dn)∈[0n,,λ∈1],则F(λc+(1-λ)d)=||∑1≤i≤n(λci+-λ()1di)e-gi||=||λ∑1≤i≤nciei+-(λ)1∑1≤i≤ndie-(iλg+(1-λ)g)||=||λ(∑1≤i≤ncie-gi)+(1λ-)(∑1≤i≤ndi-egi)||≤λ||∑1≤i≤ncie-gi||+(1λ)-||∑1≤i≤ndeii-g||=λF(c)+(1-λ)F(d),故F是一个凸函数.(2)因为{e1,e2,...,en是}M的一组基,故M中的每个元h都可表示为h=∑1≤i≤ndiei,其中d=(d1,d2,...,dn)∈(c)≤F(d),故||f-g||=F(c)≤F(d)=|-|gh||.*空间,X0是X的线性子空间,假定?c∈(0,1)使得?y∈X,有inf{||–yx|||x∈X0}≤c||y||.求证X0::设y∈X,?ε>0,x1∈X0,.||y–x1||<c||y||+ε/∈X0,.||(y–x1)–x2||<c||–yx1||+ε/∈X0,.||(y–x1–x2)–x3||<c||–yx1–x2||+ε/,可得到一个X0中的点列{xn,}满足||y–∑1≤j≤n+1xj||<c||–∑y1≤j≤nxj||+ε/2n+2(?n∈+).那么,我们可以用数学归纳法证明||y–∑1≤j≤nxj||<cn||y||+ε(∑1≤j≤n1/2j+1).当n=1时,||y–x1||<c||y||+ε/=2时,||(y–x1)–x2||<c||–yx1||+ε/8<c(c||y||+ε/4)+ε/8<c2||y||+ε(1/4+1/8),结论成:..≥3时,若||y–∑1≤j≤nxj||<cn||y||+ε(∑1≤j≤n1