文档介绍：立体几何知识点整理(文科)
直线和平面的三种位置关系:
1. 线面平行
符号表示:
2. 线面相交
符号表示:
3. 线在面内
符号表示:
平行关系:
线线平行:
方法一:用线面平行实现。
方法二:用面面平行实现。
方法三:用线面垂直实现。
若,则。
方法四:用向量方法:
若向量和向量共线且l、m不重合,则。
线面平行:
方法一:用线线平行实现。
方法二:用面面平行实现。
方法三:用平面法向量实现。
若为平面的一个法向量,且,则。
面面平行:
方法一:用线线平行实现。
方法二:用线面平行实现。
:
1. 线面垂直:
方法一:用线线垂直实现。
方法二:用面面垂直实现。
2. 面面垂直:
方法一:用线面垂直实现。
方法二:计算所成二面角为直角。
线线垂直:
方法一:用线面垂直实现。
方法二:三垂线定理及其逆定理。
方法三:用向量方法:
若向量和向量的数量积为0,则。
夹角问题。
异面直线所成的角:
(1) 范围:
(2)求法:
方法一:定义法。
步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。
步骤2:解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理:
(计算结果可能是其补角)
方法二:向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角):
线面角
(1)定义:直线l上任取一点P(交点除外),作PO于O,连结AO,则AO为斜线PA在面内的射影,(图中)为直线l与面所成的角。
(2)范围:
当时,或
当时,
(3)求法:
方法一:定义法。
步骤1:作出线面角,并证明。
步骤2:解三角形,求出线面角。
二面角及其平面角
(1)定义:在棱l上取一点P,两个半平面内分别作l的垂线(射线)m、n,则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。
(2)范围:
(3)求法:
方法一:定义法。
步骤1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。
步骤2:解三角形,求出二面角的平面角。
方法二:截面法。
步骤1:如图,若平面POA同时垂直于平面,则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
步骤2:解三角形,求出二面角。
方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一:计算
步骤二:判断与的关系,可能相等或者互补。
距离问题。
。
方法一:几何法。
步骤1:过点P作PO于O,线段PO即为所求。
步骤2:计算线段PO的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法)
、面面距均可转化为点面距。
方法一:转化为线面距离。
如图,m和n为两条异面直线,且,则异面直线m和n之间的距离可转化为
直线m与平面之间的距离。
方法二:直接计算公垂线段的长度。
方法三:公式法。
如图,AD是异面直线m和n的公垂线段,,则异面直线m和n之间的距离为:
A
B
C
D
空间向量
空间向量基本定理
若向量为空间中不共面的三个向量,则对空间中任意一个向量,都存在唯一的有序实数对,使得。
(二) 三点共线,四点共面问题
1. A,B,C三点共线
,且
当时,A是线段BC的
A,B,C三点共线
2. A,B,C,D四点共面
,且
当时,A是△BCD的
A,B,C,D四点共面
(三)空间向量的坐标运算
1. 已知空间中A、B两点的坐标分别为:
, 则:
;
2. 若空间中的向量,
则
常见几何体的特征及运算
长方体
1. 长方体的对角线相等且互相平分。
2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为,则
若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为,则
、b、c,则体对角线长为,表面积为,体积为。
正棱锥:底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。
正多面体:每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。
(只有五种正多面体)
棱锥的性质:平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
体积:
球
:到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。
2. 设球半径为R,小圆的半径为r,小圆圆心为O1,球心O到小圆的距离为d,则它们三者之间的数量关系是。
3. 球面距离:经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
: 体积公式:
高考题典例
考点2 异面直线的距离
例2 已知三棱锥,底面是边长为的正三角形,棱的长为2,,求CD与SE