文档介绍：§ 趋势面分析方法
本节主要内容:
趋势面分析的一般原理
趋势面模型的适度检验
趋势面分析应用实例
一、趋势面分析的一般原理
趋势面分析,是利用数学曲面模拟地理系统要素在空间上的分布及变化趋势的一种数学方法。
它实质上是通过回归分析原理,运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数,模拟地理要素在空间上的分布规律,展示地理要素在地域空间上的变化趋势。
趋势面分析方法常常被用来模拟资源、环境、人口及经济要素在空间上的分布规律,它是在空间分析方面具有重要的应用价值
趋势面是一种抽象的数学曲面,它抽象并过滤掉了一些局域随机因素的影响,使地理要素的空间分布规律明显化。
因此,通常把实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分,前者反映地理要素的宏观分布规律,属于确定性因素作用的结果;而后者则对应于微观局域,是随机因素影响的结果。
趋势面分析的一个基本要求,就是所选择的趋势面模型应该是剩余值最小,而趋势值最大,这样拟合度精度才能达到足够的准确性。空间趋势面分析,正是从地理要素分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值,从而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。
地理要素的空间分布曲面,大多都是非线性的,寻找这些非线性曲面的数学方程式比较困难,通常可采取用多项式的形式进行拟合。
(一)建立趋势面模型
设某地理要素的实际观测数据为, 趋势值拟合值为,则有
式中:εi即为剩余值(残差值)。
显然,当(xi,yi)在空间上变动时,()式就刻画了地理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动关系。
()
多项式趋势面的形式:
①一次趋势面模型:
②二次趋势面模型:
③三次趋势面模型:
()
()
()
(二) 估计趋势面模型的参数
实质:根据观测值zi,xi,yi(i=1,2,…,n)确定多项式的系数a0,a1,…,ap,使残差平方和最小。
过程:
①将多项式回归(非线性模型)模型转化为多元线性回归模型。
令
则
③求Q对a0,a1,…,ap的偏导数,并令其等于0,得正规方程组:(式中为个p+I个未知量)
②其残差平方和为
()
()
③用矩阵形式表示
则()式变为
()