文档介绍：§ 冲激响应和阶跃响应
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三. 冲激响应的求解方法
五. 几点注意
分析LTI系统对冲激信号和阶跃信号响应的主要原因是:
。冲激响应的性质可以表示LTI系统的因果性和稳定性;冲激响应的变换域表示更是分析LTI系统的重要手段。
这是用卷积求LTI系统零状态响应的基本原理。
则响应为
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(t)信号或u(t)信号之和,如:任意信号e(t)可以用d(t)的组合表示,即:
系统在单位冲激信号d(t)作用下产生的零状态响应,称为单位冲激响应,简称冲激响应,一般用h(t)表示。
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系统在单位阶跃信号u(t)作用下的零状态响应,称为单位阶跃响应,简称阶跃响应,一般用g(t)表示。
响应及其各阶导数(最高阶为n次)
1. 冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用高阶微分方程表示为:
激励及其各阶导数(最高阶为m次)
令 e(t)=(t)
则 r(t)=h(t)
方法2:奇异函数项相平衡法。
方法3: 齐次解法求冲激响应。
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方法1:冲激函数匹配法:首先求出跳变值,由于
冲激响应为零状态响应,则h(n)(0-)=0,所以
h(n)(0+)=跳变值; 时, 及其导数均为零,
因而方程式右端的自由项恒等于零,其解的形式
为微分方程的齐次解,即: 由此
确定系数Ai。
)
(
t
h
=
e
1
A
n
i
t
i
i
å
=
a
上述3种方法,其本质都是奇异函数平衡法,匹配法实质上是平衡法的导出法,齐次法是匹配法的特例。
方法2:奇异函数项相平衡法
由于及其导数在时都为零,因而方程式右端的自由项恒等于零,这样系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。其解不但与特征根有关,而且与n, m相对大小有关。
及其各阶导数,其解的形式为:
)
(
(
)
不含
时,
当
t
t
h
m
n
d
>
·
(
)
(
)
中应包含
时,
当
t
t
h
m
n
d
=
·
,其解的形式为:
+B
设特征根为简单根(无重根的单根),则:
(
)
(
)
及其各阶导数。
应包含
时,
当
t
t
h
m
n
d
<
·
其解的形式为:
+B0 +B1 +……+Bm-n
3)将h(t)及各阶导数代入微分方程的左端,使微分方程左、右两端奇异函数相平衡,从而求出待定系数。
这里,绕过了求h(n)(0+)的问题。
1)根据齐次方程的特征根及m、n的关系给出h(t)的解形式;
2)求h(t)及各阶导数;
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求解方法:
方法3:齐次解法求冲激响应
左端最高阶微分中含有(t)项,(n-1)阶微分中含有u(t)项。可以由此定初始条件
令方程右端只有一项(t)时,冲激响应为则方程为:
设求解的微分方程为:
令h(n)(t)的系数为1,则方程变为:
此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。
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然后,按匹配法求得冲激响应
由系统的线性时不变特性,原系统的冲激响应h(t)为
及各阶导数的线性组合。
定初始条件
系统是零状态的,故有:
积分
为1
有界函数,在无穷小区间积分为0
含(t)项
积分不为0
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则: