文档介绍：梯度通俗解释
记得在高中做数学题时,经常要求曲线的切线。见到形如
管三七二十一直接求导得到,这就是切线的斜率,然后
就得到了处的切线。之类的函数,不
上大学又学习了曲面切线和法向量的求法,求偏导是法向量,然后套公式求出切线。
一个经典例子如下:
(来自web上某个《几何应用》ppt)
其中的向量n是F(x,y,z)的偏导数。
然而,这两者求法看似无关啊,中求得的是切线,然而下面的求偏导后却是法向量,为啥都是求导,差别这么大呢?切平面的方程为啥又是与法向量有关呢?
当然这些问题的问答都可以通过严格的数学推导完成。这里想从更加直白的角度来说明道理。
首先,法向量(梯度)是F(X)(其中X={x0,x1,x2,?xn}是n维向量)对各个分量求偏导后的结果,代表了F(X)在各个方向的变化率,整个法向量就是F(X)在各个方向上变化率叠加出来的向量。如对于一维的F(x)=,在x上导数是2x
,
意味着在x方向上是以2x的速度变化,比如当x=2时,F(x)变化率为4大于当x=1时(变化率为2)的变化率,法向量的方向只能是x方向,因
为F(X)是一维。这里的F(X)称为隐函数,如我们平时使用的使用隐函数就可以表示成F(x,y)=f(x)-y,这样其实F(x,y)是二维的。至于为什么导数就是变化率,可以通过导数的定义就可以知道了(微小的dx变化引起多大的dy变化)。
那么我们明白了,隐函数F(X)的法向量就是F(X)对各个分量的偏导数的向量。那么为何
数F(X)和中求得的是切线,而不是法向量?其实我们不能搞混了隐函。隐函数是一个函数,它的值根据X的取值不同而不同。而
只是x和y之间满足的约束关系,如建立x-y坐标,两者的约束关系可以通过图形(直线、曲线等)来表示。比如我们可以用来表示一条抛物线,而且能
,只有当F(x,y)够在x-y坐标系下画出来。而换用隐函数表示就是F(x,y)=
等于一个给定值(比如0时),它才是一条抛物线,否则它只是一个函数,如果用z来代替F(x,y),那么F(x,y)其实是一个曲面,维度上升了1。我们对F(x,y)求偏导后的结果其实就是F(x,y)的值z的变化率。
说明F(x,y)的值究竟将在(x,y)的小范围能变化多少,这个变化率决定于x方向上的微小变换dx和y方向上微小变换dy的线性组合,而他们的系数就是偏导数。将dx和dy换成单位向量i和j就是法向量了。那么梯度也就反映了F(X)在某一点的变化率和变换方向。
说的有点绕口,简而言之,对于一个隐函数F(X),我们想知道在给定X附近F(X)的变化方向和大小。怎么去刻画?由于X的各个方向(x0,
x1,x2?xn)上变化速率和方向都不同(比如在x0上以平方级别变化,在x1上以线性方式变化,这个要根据具体的表达式了),而我们想知道他们叠加在一块是怎么变化的。我们使用全微分公式(比如上面的,可以知道他们之间的叠加系数就是偏导数,叠加结果就是变化率,而方向就是x0,x1,x2?相应的变化方向i,j,k?等线性组合得到的方向。
回到为什么“中求得的是切线”的问题,其实这是最终结论了,是推
写成隐函数(这里的x,y都是实数了,上面的
。
导出来的。第一步我们将X是向量),
然后求F对x的偏导得
求F对y