文档介绍：图论之图的基本算法
王恩泽
我们将要学的
图的表示
图的遍历(DFS,BFS)
拓扑排序
最短路径算法(Dijkstra,Floyd)
最小生成树算法(Prim)
图的表示
要表示一个图G=(V, E),有两种标准方法:邻接表和邻接矩阵
邻接表常用于表示稀疏图,临街矩阵常用于表示稠密图
邻接表可以使用包含记录的数组或指针类型存储,邻接矩阵常用二维数组存储。这两种方式可以存储有向图或无向图,也可以是加权图
当图较小时,一般用邻接矩阵处理。无权图的存储可以用一个二进位代替一个字节来节省空间
图的遍历
DFS的结果是一棵树,所有前向边由父节点指向子节点,反向边由子节点回指父节点。在DFS中,可能出现一棵树或多棵树的结果
BFS是最简单的图搜索算法之一,Prim、Dijkstra等重要算法应用了BFS类似的思想。BFS使用到队列这种数据结构,节点被三次染色后构成广度优先树。BFS的运行复杂度是O(V+E),是图G邻接表大小的一个线性函数
拓扑排序
拓扑排序是应用于有向无环图的一种算法
拓扑,是数学的一个分支,它对图形进行等价变换,研究一个问题或图形的本质。许多魔术及智力玩具便是拓扑学的广泛应用
经过拓扑排序的图,形成一个由所有顶点构成的线性序列,它满足对于任意一条边(u, v),u顶点出现在v顶点的前面。因此,这个序列满足图中所有顶点的先后顺序
最小生成树算法
两个最常用的最小生成树算法是Prim算法和Kruskal算法,渐进意义上来说,两个算法的时间复杂度是相同的,均为O(ElogV)(经过堆优化)。而Prim算法和Dijkstra算法形式类似,相对比较好记
另外,Prim算法中如果用斐波那契堆来实现最小优先队列,算法时间复杂度还可以改进为O(E + VlogV),不过这种方法在信息学竞赛中并不常见
Dijkstra Vs Prim
Dijkstra算法和Prim算法是图论中两个常见的算法,分别用来求单源最短路和最小生成树
从形式上看,Dijkstra和Prim很相似,有时候甚至会把它们写错~
这次我们从另一个角度来看看Dijkstra和Prim
从Prim看Dijkstra
实际上,不仅Prim算法构造了一棵树,Dijkstra也构造了一棵树
区别在哪呢?很容易想到,Prim是让所有边权值之和最小,而Dijkstra是让每个顶点到源点路径上的权值最小
由此可见,Dijkstra和Prim算法都是在构造一棵“最小树”,我们也就可以从这个角度理解Dijkstra算法
同样是基于贪心的思想,贪心标准却不同,Dijkstra是不断更新每个顶点到源点的距离,而Prim是不断更新每个顶点到整棵树的距离。
从Dijkstra看Prim
通常来说,尽管它们解决的问题不相同,但是Dijkstra和Prim算法复杂度都是O(n^2)的
我们也许在书本或资料中了解过:Dijkstra的时间复杂度可以降低到O(nlogn)级别。如何做呢?对,用堆来存储
同样地,Prim算法也可以用堆降低到O(nlogn)复杂度的,也就是说生成树问题也可以在O(nlogn)时间内用Prim算法解决,只不过我们大部分都没有实践过
不要小看它,它能让Prim算法可负担的数据范围扩大成百上千倍!