文档介绍：动态微分方程模型
传染病模型

(四个模型)
问题提出
本世纪初,瘟疫常在世界上某地流行,随着
人类文明的不断进步,很多疾病,诸如天花、霍
,即使在今天,一
些贫穷的发展中国家,仍出现传染病流行的现象,
医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是:
(1)如何描述传染病的传播过程
(2)如何分析受感染人数的变化规律
(3)如何预报传染病高潮的到来.
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。
故不可能从医学的角度对各种传染病的传播过程一
一进行分析,而是按一般的传播机理建立模型.
由于传染病在传播的过程涉及因素较多,在分
析问题的过程中,不可能通过一次假设建立完善的
数学模型.
思路是:先做出最简单的假设,对得出的结果
进行分析,针对结果中的不合理之处,逐步修改假
设,最终得出较好的模型。
模型一SI模型
模型假设:
(1)一人得病后,久治不愈,人在传染
期内不会死亡。
(2)单位时间内每个病人传染人数为常
数k。
为什么假设不会死亡?
(因为死亡后便不会再传播疾病,因
而可认为此时已退出系统)
模型建立:
I(t)——表示t时刻病人的数量,时间:天
则:I(t+Δt)—I( t)=k0I(t) Δ t
于是模型如下:
模型的解:
举个实例
最初只有1个病人,1个病人一天可传染1个人
模型的缺点
问题:随着时间的推移,病人的数目将无限增加,
这一点与实际情况不符.
原因:当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移
时,一个地区的总人数可视为常数。因此
k0应为时间t的函数。在传染病流行初期,
k0较大,随着病人的增多,健康人数减少,
被传染的机会也减少,于是k0将变小。
模型修改的关键: k0的变化规律
模型改进
方程的解:
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t的关系
染病人数由开始到高峰并
逐渐达到稳定
增长速度由低增至最高后
降落下来