文档介绍：实数大小比较的常用方法【初二数学】
添加时间:2012年11月23日浏览:53次
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实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型,不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一,也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识,本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。
一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a,b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据当a-b﹥0时,得到a﹥b。当a-b﹤0时,得到a﹤b。当a-b=0,得到a=b。
例1:(1)比较与的大小。(2)比较1-与1-的大小。
解∵-=<0 , ∴<。
解∵(1-)-(1-)=>0 , ∴1->1-。
二【商值比较法】商值比较法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先求出a与b得商。当<1时,a<b;当>1时,a>b;当=1时,a=b。来比较a与b的大小。
例2:比较与的大小。
解:∵÷=<1 ∴<
三【倒数法】倒数法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先分别求出a与b的倒数,再根据当>时,a<b。来比较a与b的大小。
例3:比较-与-的大小。
解∵=+ , =+
又∵+<+
∴->-
四【平方法】平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据a>0,b>0时,可由>得到a>b来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。
例5:比较与的大小
解:, =8+2。
又∵8+2<8+2 ∴<。
五【估算法】
估算法的基本是思路是设a,b为任意两个正实数,先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围,再进行比较。
例4:比较与的大小
解:∵3<<4 ∴-3<1 ∴<
六【移动因式法】(穿墙术)
移动因式法的基本是思路是,当a>0,b>0,若要比较形如a的大小,可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较。
例6:比较2与3的大小
解:∵2==,3==。
又∵28>27, ∴2>3。
七【取特值验证法】
比较两个实数的大小,有时取特殊值会更简单。
例7:当时,,,的大小顺序是______________。
解:(特殊值法)取=,则:=,=2。
∵<<2,∴<<。
例(常德市)设a=20,b=(-3)2,c=,d=,则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是( )
<a<d<b <d<a<c <c<d<b <c<a<d
分析可以分别求出a、b、c、d的具体值,从而可以比较大小.
解因为a=20=1,b=(-3)2=9,c==-,d==2,而-<1<2<9,所以c<a<d<.
除以上七种方法外,还有利用数轴上的点,右边的数总比左边的数大;以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。
比较实数大小的八种方法
张德军
生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。
一、法则法
比较实数大小的法则是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。
例1 比较与的大小。
析解:由于,且,所以。
说明:利用法则比较实数的大小是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。
二、平方法
用平方法比较实数大小的依据是:对任意正实数a、b有:。
例2 比较与的大小。
析解:由于,而,所以。
说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。
三、数形结合方法
用数形结合法比较实数大小的理论依据是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、-a、b、-b、c、-c的大小。
析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、-a、b、-b、c、-c表示的点画出来,容易得到结论:
四、估算法
用估算法比较实数的大小的基本思路是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。
例4 比较与的大小。
析解:由于,故,所以
五、倒数法
用倒数法比较实数的大小的依据是:对任意正实数a、b有:
例5 比较与的大小
析解:因为,
又因为,
所以
所以
说明:对于两个形如(,且k是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。
六、作差法
用作差法比较实数的大小的依据是:对任意实数a、b有:
例6 比较与