文档介绍：第六章数列
二、重难点击
本章重点:数列的概念,等差数列,等比数列的定义,通项公式和前项和公式及运用,等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法,如:观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。
知识网络
数列与正整数集关系
等差数列
等比数列
特殊数列求和方法
公式法
倒序相加法
错位相减法
裂项相消法
递推公式
通项公式
数列
第一课时数列
四、数列通项与前项和的关系
1.
2.
课前热身
,则数列各项中最小项是( B )
,其通项公式为,则实数的取值范围是
,,则
题型一归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式
⑴7,77,777,7777,…
⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9…
解析:⑴将数列变形为,
⑶将已知数列变为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…。可得数列的通项公式为
点拨:本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律,从而求得通项。
题型二应用求数列通项
,分别求其通项公式.
⑴
解析:⑴当,
当
又不适合上式,故
三、利用递推关系求数列的通项
【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系,求其通项公式
⑴
解析:⑴因为,所以
所以
…,…,
以上个式相加得
即:
点拨:在递推关系中若求用累加法,若求用累乘法,若,求用待定系数法或迭代法。
课外练习
3设,(),则的大小关系是( C )
A. B.
C.
解:因为
所以,选C.
二、填空题
(),则数列的前30项中最大项和最小项分别是
解:构造函数
由函数性质可知,函数在上递减,且
函数在上递增且
知识要点
是数列成等差数列的充要条件。
:
若成等差数列,则称的等差中项,且;成等差数列是的充要条件。
;
是数列成等差数列的充要条件。
⑴反之,不成立。
⑵
⑶
⑷仍成等差数列。
:
①定义法:
是等差数列
②中项法:
是等差数列
③通项公式法:
是等差数列
④前项和公式法:
是等差数列
课前热身
,
解
。
,,则前10或11项的和最大。
解:
∴为递减等差数列∴为最大。
,前100项和为10,则前110项和为-110
解:∵
成等差数列,公差为D其首项为
,前10项的和为
,已知
①求出公差的范围,
②指出中哪一个值最大,并说明理由。
解:①
②
课外练习
选择题
已知数列是等差数列,,其前10项的和,则其公差等于( D )
已知等差数列中,等于( A )
二、填空题
设为等差数列的前项和,=54
已知等差数列的前项和为,若
设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同点
组成公差为的等差数列,则的取值范围为
解:椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为,由题意得:
三、解答题
等差数列的前项和记为,已知
①求通项;②若=242,求
解:
由,=242
甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运动,甲第一分钟走2,以后每分钟比前一分钟多走1,乙每分钟走5,①甲、乙开始运动后几分钟相遇?②如果甲乙到对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前一分钟多走1,乙继续每分钟走5,那么,开始运动几分钟后第二次相遇?
解:①设分钟后第一次相遇,依题意有:
故第一次相遇是在开始运动后7分钟。
②设分钟后第二次相遇,则:
故第二次相遇是在开始运动后15分钟
,前和
①求证:数列是等差数列
②求数列的通项公式
③设数列的前项和为,是否存在实数,使得对一切正整数都成立?若存在,求的最小值,若不存在,试说明理由。
解:①∵
∴数列为等差数列。
②
③
要使得对一切正整数恒成立,只要≥,所以存在实数使得对一切正整数
都成立,的最小值为。
知识要点
定义: