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函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.
本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.
●难点磁场
(★★★★★)已知偶函数 f(x)在(0，+∞)上为增函数，且 f(2)=0,解不等式 ［f log (x2+5x+4)］
2
≥0.
●案例探究
［例 1］已知奇函数 f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式 f(x－3)+f(x2－3)<0,
设不等式解集为 A，B=A∪{x|1≤x≤ 5 },求函数 g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.
命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问
题的能力，属★★★★级题目.
知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.
错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最
值问题时，学生容易漏掉定义域.
技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为 xcos 不等式，利用数形结合进行集合运
算和求最值.
3 x 3 3 0 x 6
解：由 得 且 x≠0,故 0<x< 6 ,
3 x 2 3 3 6 x 6
又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又 f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即 x2+x－6>0,解得 x>2 或 x<－3,综上得 2<x< 6 ,即 A={x|2<x< 6 },
1 13
∴B=A∪{x|1≤x≤ 5 }={x|1≤x< 6 },又 g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－ )2－ 知：g(x)
2 4
在 B 上为减函数，∴g(x) =g(1)=－4.
max
［例 2］已知奇函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数
m,使 f(cos2θ －3)+f(4m－2mcosθ )>f(0)对所有θ ∈［0, ］都成立？若存在，求出符合条件
2
的所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由.
命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运
算能力，属★★★★★题目.
知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二
次函数在定给 区间上的最值问题 .
错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思
想方法.
技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.
解：∵f(x)是 R 上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是 R
等式可等价地转化为 f(cos2θ －3)>f(2mcosθ －4m),
即 cos2θ －3>2mcosθ －4m,即 cos2θ －mcosθ +2m－2>0.
m m 2
设 t=cosθ ,则问题等价地转化为函数 g(t)=t2－mt+2m－2=(t－ )2－ +2m－2 在［0，
2 4
1］上的值恒为正，又转化为函数 g(t)在［0，1］上的最小值为正.
m
∴当 <0,即 m<0 时，g(0)=2m－2>0 m>1 与 m<0 不符；
2
m m 2
当 0≤ ≤1 时，即 0≤m≤2 时，g(m)=－ +2m－2>0
2 4
4－2 2 <m<4+2 2 ,∴4－2 2 <m≤2.
m
当 >1,即 m>2 时，g(1)=m－1>0 m>1.∴m>2
2
综上，符合题目要求的 m 的值存在，其取值范围是 m>4－2 2 .
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
(1)
知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.
(2)，往往还要用到等价
转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.
特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)设 f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当 0≤x≤1 时，f(x)=x,则 f()
等于( )
B.－ D.－
2.(★★★★)已知定义域为 (－1，1)的奇函数 y=f(x)又是减函数，且 f(a－3)+f(9－a2)<0,
则 a 的取值范围是( )
A.(2 2 ，3) B.(3， 10 )
C.(2 2 ，4) D.(－2，3)
二、填空题
3.(★★★★)若 f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又 f(－3)=0,则 xf(x)<0 的解集
为_________.
4.(★★★★)如果函数 f(x)在 R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且 f(x+2)=－f(x),
1 2
试比较 f( ),f( ),f(1)的大小关系_________.
3 3
三、解答题
5.(★★★★★)已知 f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断 f(x)在(－∞,0)上的增
减性并加以证明.
a 2 x 1
6.(★★★★)已知 f(x)= (a∈R)是 R 上的奇函数，
1 2 x
(1)求 a 的值；
(2)求 f(x)的反函数 f－1(x);
1 x
(3)对任意给定的 k∈R+,解不等式 f－1(x)>lg .
k
7
7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数 f(x)满足 f(m－sinx)≤f( 1 2m － +cos2x)对
4
任意 x∈R 都成立，求实数 m 的取值范围.
参考答案
难点磁场
解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为 f［log (x2+5x+4)］≥f(2).
2
又∵f(x)为偶函数，且 f(x)在(0，+∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且 f(－2)=f(2)=0
∴不等式可化为 log (x2+5x+4)≥2 ①
2
或 log (x2+5x+4)≤－2 ②
2
由①得 x2+5x+4≥4
∴x≤－5 或 x≥0 ③
1 5 10 5 10
由②得 0＜x2+5x+4≤ 得 ≤x＜－4 或－1＜x≤ ④
4 2 2
由③④得原不等式的解集为
5 10 5 10
{x|x≤－5 或 ≤x≤－4 或－1＜x≤ 或 x≥0}
2 2
歼灭难点训练
一、：f()=f(+2)=－f()=－f(+2)=f()=f(+2)=－f()=－f(－+2)=
f(－)=－f()=－.
答案：B
：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且 f(a－3)+f(9－a2)＜0.
∴f(a－3)＜f(a2－9).
1 a 3 1
∴ 1 a 2 9 1 ∴a∈(2 2 ,3).
a 3 a 2 9
答案：A
x 0 x 0
二、：由题意可知：xf(x)＜0 或
f (x) 0 f (x) 0
x 0 x 0 x 0 x 0
或 或
f (x) f (3) f (x) f (3) x 3 x 3
∴x∈(－3,0)∪(0,3)
答案：(－3，0）∪(0，3）
：∵f(x)为 R 上的奇函数
1 1 2 2 1
∴f( )=－f(－ ),f( )=－f(－ ),f(1)=－f(－1),又 f(x)在(－1，0)上是增函数且－ >
3 3 3 3 3
2
－ >－1.
3
1 2 1 2
∴f(－ )>f(－ )>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).
3 3 3 3
1 2
答案：f( )＜f( )＜f(1)
3 3
三、：函数 f(x)在(－∞,0）上是增函数，设 x ＜x ＜0,因为 f(x)是偶函数，所以
1 2
f(－x )=f(x ),f(－x )=f(x ),由假设可知－x >－x >0,又已知 f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是
1 1 2 2 1 2
有 f(－x )＜f(－x ),即 f(x )＜f(x ),由此可知，函数 f(x)在(－∞,0)上是增函数.
1 2 1 2
：(1）a=1.
2 x 1 1 x
(2)f(x)= (x∈R)f－-1(x)=log (－1＜x＜1 ) .
2 x 1 2 1 x
1 x 1 x
(3)由 log >log log (1－x)＜log k,∴当 0＜k＜2 时，不等式解集为{x|1－k
2 1 x 2 k 2 2
＜x＜1} ;当 k≥2 时，不等式解集为{x|－1＜x＜1} .
m sin x 4
m 4 sinx
7
： 1 2m cos 2 x 4 即 7 ，对 x
4 m 1 2m sin2 x sinx 1
4
7
m sin x 1 2m cos 2 x
4
∈R 恒成立,
m 3
3 1
3 1 ∴m∈［ ,3］∪{ }.
m 或m 2 2
2 2