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D,Oz分别为x,y,z轴正方向,如图所示建立空间直角坐标系,...........................................1分(1)在直角三角形ABD内,过A做AE?BD于E,可求AD?2,那么AB?ADAD2AE??3,DE??1,...................2分BDBD所以OE?1,那么A(0,1,3),C(2,0,0),所以AC?22.....................................................................4分高三年级五校联考数学试卷第5页(共11页)河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案--第9页:..河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案--第10页(2)由题意,B(0,?2,0),D(0,2,0),????????那么BA?(0,3,3),BC?(2,2,0),...........................................................................6分??设平面ABC的法向量为m?(x,y,z),那么:???????BA?m?0?3y?3z?0?????????,整理可得?,BC?m?0?2x?2y?0???????令y=1,那么m?(?1,1,?3),......................................................................................8分????而CD?(?2,2,0),...........................................................................................................9分??????直线CD与平面ABC所成角的正弦即为CD与m所成角的余弦,????????????CDm(2,2,0)(1,1,3)10?????所以cos?CD,m??????????CD?m22?5510所以直线CD与平面ABC所成角的正弦为.........................................................,若sin2A?sin2B?sin2C?23sinAsinBsinC,(1)求角A的大小;(2)如图所示,若DB?2,DC?4,:由题意可知,由正弦定理可得:a2?b2?c2?23bcsinA,再由余弦定理可得:b2?c2?osA?b2?c2?23bcsinA,.......................................................................................................2分即:b2?c2?3bcsinA?bccosA,整理可得:bc???3sinA?cosA?2sin(A?),...........................................3分cb6高三年级五校联考数学试卷第6页(共11页)河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案--第10页:..河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案--第11页bc可知左边??2,当且仅当b?c时,cb??右边3sinA?cosA?2sin(A?)?2,当且仅当A?,63左右相等只有两边都等于2时,即同时取得等号,?所以,A?.............................................................................................................5分3(2)由(1)可知:b?c,?BDC??,?BCD??,那么由余弦定理可得:BC2?4?16?2?2?4cos??20?16cos?,即:BC?20?16cos?,同样CA?20?16cos?,...........................................7分在三角形BDC中,由正弦定理可得:20?16cos?2?,整理得:sin?sin?sin?sin??,.............................................................................................9分5?4cos?2?cos?因为BD?CD,所以?为锐角,那么cos??,........................10分5?4cos??132?cos??3sin?那么cos(??)?cos??sin??,所以32225?4cos??DA2?16?20?16cos??8(2?cos??3sin?)?20?16sin(??)?36,62?当且仅当??时取得等号,所以DA最大值为6............................................、乙两人进行一次乒乓球比赛,约定先胜4局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局比赛中,甲、,且各局比赛结果相互独立,已知前两局比赛均为甲获胜,(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设?表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求?:用A表示事件:第i局甲获胜(i?3,4,5,6,7),用B表示事件:第i局乙获胜ii高三年级五校联考数学试卷第7页(共11页)河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案--第11页:..河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案--第12页(i?3,4,5,6,7),.............................................................1分(1)记A表示事件:甲获得这次比赛的胜利,记B表示事件:乙获得这次比赛的胜利,那么P(A)?1?P(B)?1?P(BBBB)?P(ABBBB)?P(BABBB)3456345673456711113?P(BBABB)?P(BBBAB)?1?()4?C1()4?.......................4分3456734567224216(2)?表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,由题意?可取2,3,4,5,11P(??2)?P(AA)?()2?,那么3424111P(??3)?P(BAA)?P(ABA)?C1()2?,.......................7分34534522241111P(??4)?P(BBBB)?P(ABBA)?P(BABA)?P(BBAA)?C(2)3?()4?3456345634563456232241P(??5)?1?P(??2)?P(??3)?P(??4)?.......................................................10分411117所以E??2??3??4??5??.....................................................(x)?ex,g(x)??x2.(1)若f(x)?ax?1恒成立,求a.(2)若直线l与函数f(x)的图像切于A(x,y),与函数g(x)的图像切于B(x,y),求11221证:x?x?.124解:(1)设函数h(x)?ex?ax?1?0,发现h(0)?0,所以h(x)?ex?ax?1?h(0)恒成立,那么x?0是函数h(x)的最小值点,也就是极小值点,所以h'(0)?0,求导:h'(x)?ex?a,把x?0代入得:a?1.....................................................................2分证明:当a?1时,h(x)?ex?x?1,求导:h'(x)?ex?1,当x?0时,h'(x)?0,h(x)单调递减;当x?0,h'(x)?0,h(x)(x)?h(0)?(共11页)河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案--第12页:..河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案--第13页所以a?1..................................................................................................................................4分(2)由题意可知:f'(x)?ex,g'(x)??2x,ex?(?x2)x1那么:e1??2x?2..........................................................................................6分2x?x12?2x?(?x2)解之可得:?2x?22,即x?2x?2,2x?x2112所以x满足ex??2(2x?2),即ex?2(2x?2)?ex?4x?4?0..............................8分1111111133令m(x)?ex?4x?4,可知m(x)单调递增,且m()?e?2?0,m()?e4?1?0,2413所以?x?,..........................................................................................................10分2141而x?2x?2??,2121所以x?x?,命题得证.........................................................................................:??1(a?b?0),左、右焦点分别为F(?1,0)、F(1,0),左、右a2b212?顶点分别为A、B,若T为椭圆上一点,?FTF的最大值为,点P在直线x?4上,123直线PA与椭圆C的另一个交点为M,直线PB与椭圆C的另一个交点为N,其中M、N不与左右顶点重合.(1)求椭圆C的标准方程;(2)从点A向直线MN做垂线,垂足为Q,证明:存在点D,:(1)由题意可得:c?1,设PF?r,PF?r,那么1122r2?r2?4c2(r?r)2?2rr?4c2cos?FTF?11?121122rr2rr12124b2?2rr4b2?1??1,....................................................................................................1分2rr2rr1212高三年级五校联考数学试卷第9页(共11页)河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案--第13页:..河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案--第14页rr2???可知rr?12?a2,当且仅当r?r取得等号,12??12?2?4b22b22b2所以上式??1??1,即cos?FTF的最小值为?1,2a2a212a2??12b2又?FTF的最大值为,所以cos???1,...........................................2分12332a23x2y2所以b2?a2,又c?1,所以解得a?2,b?3,所以椭圆C的标准方程为??...........................................................................................................................................4分(2)由题意可知,直线MN斜率为0时,显然不成立;设直线MN:x?my?t,点M(x,y),N(x,y),联立直线MN与椭圆C:1122?x?my?t?x2y2,整理可得:(3m2?4)y2?6mty?3t2?12?0,???1??43?6mt3t2?12y?y?,yy?,...........................................5分123m2?4123m2?4yy由上,设直线MA:y?1(x?2),直线NB:y?2(x?2),x?2x?212y