文档介绍：第二十四章圆第三章圆
1、定义:圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。
对圆的定义的理解:①圆是一条封闭曲线,不是圆面;
②圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。
2、点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则:
①点在圆上<===>d=r;②点在圆内<===>d<r;③点在圆外<===>d>r
证明若干个点共圆,就是证明这几个点与一个定点的距离相等。
3、圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形,对称中心为圆心。
直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。
4、与圆相关的概念:
①弦和直径。弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径:经过圆心的弦叫做直径。
②圆弧、半圆、优弧、劣弧。
圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“⌒”表示,
半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。
优弧:大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。)
③弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
④同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。⑦圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。
⑦弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。
5、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。
6、定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,
那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
7、1°的弧的概念:把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
8、圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角。
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等;反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等;
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;
9、确定圆的条件:
①理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上。
②经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上的三点不能作圆。(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆。定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆。
10、(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形。(P69-4,5、P70-15)