文档介绍：高等数学(上)重要知识点归纳
函数、极限与连续
极限的定义与性质
定义(以数列为例)
当时,
性质
(1) ,其中为某一个无穷小。
(2)(保号性)若,则当时,。
(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
求极限的主要方法与工具
*两个重要极限公式(1) (2)
两个准则(1) *夹逼准则(2)单调有界准则
*等价无穷小替换法
常用替换:当时
(2)
(3) (4)
(6)
(8)
分子或分母有理化法 5、分解因式法 6用定积分定义
无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价
连续与间断点的分类
连续的定义*
在点连续
间断点的分类
曲线的渐近线*
闭区间连续函数性质
最大值与最小值定理
介值定理和零点定理
导数与微分
导数的概念
导数的定义*
2、左右导数
左导数
右导数
导数的几何意义*
导数的物理意义
可导与连续的关系:
导数的运算
四则运算
复合函数求导设,一定条件下
反函数求导设互为反函数,一定条件下:
求导基本公式*(要熟记)
隐函数求导* 方法:在两端同时对求导,其中要注意到:是中间变量,然后再解出
参数方程确定函数的求导* ,一定条件下(可以不记)
常用的高阶导数公式
(莱布尼茨公式)
微分的概念与运算
微分定义*
若,则可微,记
公式:
可微与可导的关系* 两者等价
近似计算当,
导数的应用
微分中值定理*
1、柯西中值定理*
当取时,定理演变成:
2、拉格朗日中值定理*
当加上条件则演变成:
3、罗尔定理*
4、泰勒中值定理
在一定条件下:
其中介于之间.
当公式中n=0时,定理演变成拉格朗日定理.
当时,公式变成:
麦克劳林公式
6、常用麦克劳林展开式
(1)
(2)
罗比达法则*
记住:法则仅能对型直接用,对于转化后用. 幂指函数恒等式*
单调性判别*
单调区间分界点:驻点和不可导点.
极值求法*
极值点来自:驻点或不可导点(可疑点).
求出可疑点后再加以判别.
第一判别法:左右导数要异号,由正变负为极大,由负变正为极小.
第二判别法:一阶导等于0,二阶导不为0时,,负为极大.
闭区间最值求法*
找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点,比较大小.
凹凸性与拐点*
拐点:曲线上凹凸分界点.
横坐标不外乎,找到后再加以判别附近的二阶导数是否变号.
曲率与曲率半径
曲率公式
曲率半径
不定积分
不定积分的概念*
若在区间上,,
则称
称全体原函数F(x)+c为f(x)的不定积分,记为.
微分与积分的互逆关系
积分法*
凑微分法*
第二类换元法
分部积分法*
常用的基本积分公式(要熟记).
定积分
定积分的定义
可积的必要条件有界.
可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或单调.
几何意义定积分等于面积的代数和.
主要性质*
可加性
估值在[a,b]上,
积分中值定理*
当f(x)在[a,b]上连续时:
函数平均值:
变上限积分函数*
牛-莱公式*
定积分的积分法*
换元法牢记:换元同时要换限
分部积分法
特殊积分
当f(x)为周期为T的周期函数时:
一定条件下:
反常积分*
无穷区间上
其他类似
p积分:
瑕积分:若a为瑕点:
则其他类似处理
第六章定积分应用
几何应用
面积
则
体积*
(1)旋转体体积* 或