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课题 对数函数
一复习: 函数 y = ax ( a > 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数, 其中x是自变量,定义域是 R .
a > 1
0 < a < 1
图象
性质
y
x
0
(0,1)
y=ax
(a>1)
y
x
(0,1)
0
y=ax
(0<a<1)
定义域:
值域:
8
过定点
在 R 上是函数
在 R 上是函数
R
( 0 , + )
( 0 , 1 )
增
减
指数式和对数式的互化:将 ab= N写成对数式得到
logaN = b
问题:求指数函数 y = ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )的反函数
解:从 y =ax 可以解得:x = logay
∵ y =ax 的值域为(0 ,+∞)
∴函数 y = ax 的反函数是
y=logax x (0 ,+∞)
二、对数函数的概念
定义: 函数 y = loga x (a>0,且a≠ 1 )
叫做对数函数.,其中 x是自变量, 函数定义域是( 0 , +∞)。
问题: 作出函数 y = log 2 x 和函数 y =log x 的图像.
【分析:互为反函数的两个函数图像关于直线 y=x 对称】
y=2x
y= log x
y =( )x
的反函数为
的反函数为
y=log 2 x
对数函数的图象和性质
图象性质
a > 1 0 < a < 1
定义域:
值域:
过定点
在( 0 ,+∞)上
是函数
在( 0 ,+∞)上
是函数
y
x
0
x=1
y=logax
(a>1)
y
x
0
y=logax
(0<a<1)
(1,0)
(1,0)
( 0 ,+∞)
R
( 1 , 0 )
增
减
例1 比较下列各组数中两个值的大小:
⑴ log , log
⑵ log , log
解:⑴考察对数函数 y = log 2x, 因为它的
底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,
于是 log <log
⑵考察对数函数 y = log x, , 即0<<1, 所以它在(0,+∞)上是减函数,
于是 log >log
⑶ log , log ( a>0 , a≠1 )
分析:对数函数的增减性决定于对数的底数
是大于1还是小于1. 而已知条件中并未指出
底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论。
注: 例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,对底数与1的大小关系未明 确指出时,要分情况对底数进行讨论来比较 两个 对数的大小.
①当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是
增函数, 于是 log <log
②当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上
是减函数, 于是 log >log
解:
练习: 比较下列各题中两个值的大小:
⑴ lg 6 lg 8
⑵
⑶
⑷
<
<
>
>
若真数相同时,如何来比较对数的大小?