文档介绍：相似三角形
一、知识概述
(一)相似三角形
1、对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.
温馨提示:
①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个(或几个)三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件,缺一不可;
②相似三角形的特征:形状一样,但大小不一定相等;
③相似三角形的定义,可得相似三角形的基本性质:对应角相等,对应边成比例,其应用广泛.
2、相似三角形对应边的比叫做相似比.
温馨提示:
①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=,而相似要求对应边成比例.
②△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即相似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的相似比,当且仅当它们全等时,才有k=k′=1.
③相似比是一个重要概念,后继学****时出现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出.
3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.
4、相似三角形的预备定理:如果一条直线平行于三角形的一条边,且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交,那么所构成的三角形与原三角形相似.
温馨提示:
①定理的基本图形有三种情况,如图其符号语言:
∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE;
②,同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础,故把它称为“预备定理”;
③有了预备定理后,在解题时不但要想到上一节“见平行,想比例”,还要想到“见平行,想相似”.
(二)相似三角形的判定
1、相似三角形的判定:
判定定理(1):两角对应相等,两三角形相似.
判定定理(2):两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
判定定理(3):三边对应成比例,两三角形相似.
温馨提示:
①有平行线时,用上节学****的预备定理;
②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时,可考虑利用判定定理(1)或判定定理(2);
③已有两边对应成比例时,,在选择利用判定定理2时,一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.
2、直角三角形相似的判定:斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.
温馨提示:
①由于直角三角形有一个角为直角,因此,在判定两个直角三角形相似时,只需再找一对对应角相等,用判定定理1,或两条直角边对应成比例,用判定定理2,一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似;
②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形,图中的三角形,可称为“母子相似三角形”,其应用较为广泛.
③如图,可简单记为:在Rt△ABC中,CD⊥AB,则△ABC∽△CBD∽△ACD.
(三)三角形的重心
1、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
2、三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍.
二、重点难点疑点突破
1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧
:
(1)相似三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最明显的对应角;相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角;相似三角形中,一对相等的角是对应角,对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边;
(2)相似三角形中,一对最长的边(或最短的边)一定是对应边;对应边所对的角是对应角;对应边所夹的角是对应角.
2、常见的相似三角形的基本图形:
学****三角形相似的判定,要与三角形全等的判定相比较,把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来;对一些出现频率较高的图形,要善于归纳和记忆;对相似三角形的判定思路要善于总结,:
(1)“平行线型”相似三角形,基本图形见上节图.“见平行,想相似”是解这类题的基本思路;
(2)“相交线型”相似三角形,.“见一对等角,找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路;
(3)“旋转型”相似三角形,∠1=∠2,∠B=∠D(或∠C=∠E),则△ADE∽△ABC,该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的.
温馨提示:
从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法,“平行线型”是常见的,这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序,“相交线型”识图较困难,解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线