文档介绍：从构造特殊四边形入手
平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形、等腰梯形都是特殊的四边形,各有其固有的性质。对于某些图形问题,从构造这几种特殊四边形入手,可找到很好的解题途径。
一、构造平行四边形
例1 如图1,△ABC中,AB=5,AC=3,则BC边上的中线AD的长m的取值范围是( )
<m<5 <m<4 C .2<m<3 <m<5
解析延长AD到E,使ED=AD,那么四边形ABEC是平行四边形。
则有AB-BE 因为BE=AC=3,AE=2AD=2m,
所以5-3<2m<5+3。
所以2<2m<8。
所以1<m<4。故答案选B。
二、构造矩形
例2 如图2,四边形ABCD中,∠BAD=60°,∠ABC=∠ADC=90°,那么=______。
解析过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,过点A作AF⊥ED,交ED的延长线于点F,那么四边形ABEF是矩形。现用DF和CE分别表示AB+AD及CB+CD。
因为∠BAD=60°, ∠ADC=90°,
所以∠DAF=30°, ∠CDE=30°。
所以AD=2DF,CD=2CE。
所以AF= = DF,
DE= = CE。
所以AB+AD=(DF+DE)+AD=3DF+DE= ( DF+CE),
CB+CD=(AF-CE)+CD=AF+CD-CE= DF+2CE-CE= DF+CE。
所以= = 。
三、构造菱形
例3 如图3,五边形ABCDE中,∠A=∠B=120°,EA=AB=BC=2,CD=DE=4,那么它的面积S五边形ABCDE =______。
解析延长EA、CB交于点F。可知△FAB是等边三角形,且FE=FC=DE=DC=4,那么四边形DEFC是菱形,S五边形ABCDE=S菱形DEFC-S△ABF。为此,应再过点C作CH⊥DE于点H,过点F作FG⊥AB于点G。
因为∠CHD=90°,∠D=60°,
所以DH= CD=2,CH=2 。
所以S菱形DEFC=DE·CH=8 。
因为∠FGA=90°,∠FAG=60°,所以AG= FA=1,FG= 。
所以S△ABF = AB·FG= 。所以S五边形ABCDE =8 - =7 。
四、构造正方形
例4 如图4,△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,点D为斜边AB的中点,E、F分别为CA、CB上异于端点的点,DE⊥DF,AB=10,设x=DE+DF,则x的取值范围是________