文档介绍：圆的定义和相关概念
1、圆的定义:同一平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫圆。其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径。
圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
2. 与圆相关的概念:
①弦和直径:弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径:经过圆心的弦叫做直径。
②弧、半圆、优弧、劣弧:
弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“⌒”表示,半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。优弧:大于半圆的弧叫做优弧。劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。)
③弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
④同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.
⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
圆的性质一:圆的轴对称性
1、圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。
2. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论2:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
推论3:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
说明:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。知二推三。
基本辅助线:圆中遇到弦,快把垂线添。
基本图形:半弦、半径、弦心距,三口之家长相依。
圆的性质二:圆的旋转不变性
1、圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。
2、圆心角定理及推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
推论2: 圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
3、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等;反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等;
推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;(辅助线:遇直径快构直角莫迟疑)
推论3: 圆周角的度数所对的弧的度数的一半;
确定圆的条件:
1. 确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2、经过一点可以作无数个圆;
经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.
经过同一直线上的三点不能作圆. 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。
(3)三角形外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.
(4)三角形外心的位置:锐角三角形的外心在三角形的内部;钝角三角形的外心在三角形的外部;直角三角形的外心在斜边的中点。
直线与圆的位置关系
1. 直线和圆相交、相切、相离的性质和判定:
设⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d;
①两个公共点<==>直线L和⊙O相交<==> d<