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同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案
习题 1?11. 设 A?∞, ?5∪5, +∞, B[?10, 3, 写出 A∪B, A∩B, A\B及 A\A\B的表达式解 A∪B?∞, 3∪5, +∞, A∩B[?10, ?5, A\B?∞, ?10∪5, +∞, A\A\B[?10, ?5
C C C2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: A∩B A ∪B证明 因为
C C C C Cx∈A∩B ?x?A∩B? x?A或x?B? x∈A 或x∈Bx∈A ∪B ,C C C
所以 A∩B A ∪B 3. 设映射 f : X →Y, A?X, B?X证明1fA∪BfA∪fB; 2fA∩B?fA∩fB 证明 因为 y∈fA∪B??x∈A∪B, 使 fxy?因为 x∈A 或 x∈B y∈fA或 y∈fB? y∈ fA∪fB,所以 fA∪BfA∪fB 2因为y∈fA∩Bx∈A∩B, 使 fxy?因为 x∈A且 x∈B y∈fA且 y∈fB? y∈ fA∩fB,
所以 fA∩B?fA∩fB 4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使 g f I , f g I , 其中I 、I 分别是X、
X Y
X Y
Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有I xx; 对于每一个y∈Y, 有I yy. 证明: f是双射, 且g
X Y?1
是f的逆映射: gf证明 因为对于任意的y∈Y, 有xgy∈X, 且fxf[gy]I yy, 即Y中任意元素都是X中某
y
元素的像, 所以f为X到Y的满射 又因为对于任意的x ≠x , 必有fx ≠fx , 否则若fx fx ?g[ fx ]g[fx ]x x
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射 对于映射g: Y
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→X, 因为对每个y∈Y, 有gyx∈X, 且满足fxf[gy]I yy, 按逆映射的
y
定义, g是f的逆映射 5. 设映射 f : X→Y, A?X证明: ?1 1f fA?A; ?1 2当f是单射时, 有f fAA ?1 ?1 证明 1因为x∈Afxy∈fAf yx∈f fA, ?1
所以 f fA?A1 2由1知f fA?A1 ?1 另一方面, 对于任意的x∈f fA?存在y∈fA, 使f yx?fxy因为y∈fA且f是单1 ?1
射, 所以x∈A. 这就证明了f fA?A. 因此f fAA6. 求下列函数的自然定义域: 1 y 3x+2 ;
2 2 解 由 3x+2≥0 得 x 函数的定义域为[? , +∞
3 3
1 2 y ;
2
1?x
2 解 由 1?x ≠0得x≠±1函数的定义域为?∞, ?1∪?1, 1∪1, +∞1
2 3 y 1?x ;
x
2 解 由x≠0 且 1?x ≥0得函数的定义域D[?1, 0∪0, 1]1 4 y ;
2
4?x
2 解 由 4?x 0 得 |x|2函数的定义域为?2, 2 5 y sin x ;解 由 x≥0 得函数的定义 D[0, +∞ 6 ytanx+1;
π π
x≠kπ + ?1解 由 x+1≠ k0, ±1, ±2,得函数的定义域为 k0, ±1, ±2,
2 2 7 yarcsinx?3; 解 由|x?3|≤1 得函数的定义域 D[2, 4]
1 8 y 3? x +arctan ;x 解 由 3?x≥0 且 x≠0 得函数的定义域 D?∞, 0∪0, 3 9 ylnx+1; 解 由 x+10 得函数的定义域 D?1, +
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∞
1
x 10 ye解 由 x≠0 得函数的定义域 D?∞, 0∪0, +∞ 7. 下列各题中, 函数 fx和 gx是否相同?为什么? 2 1fxlg x , gx2lg x;
2 2 fxx, gx x ;
3 3
4 3 3 f x xx , gx x x?1
2 2 4fx1, gxsec x?tan x解 1不同因为定义域不同 2不同因为对应法则不同, x0时, gx?x 3相同因为定义域、对应法则均相相同 4不同因为定义域不同
π|sin x| |x|π π π
3 8. 设?x , 求? , ? , ?? , ??2, 并作出函数 y?x的图形π 6 4 4
?0 |x|≥3
π π 1 π π 2 π π 2 解 ? |sin | , ? |sin | , ?? |sin? | , ??20
6 6 2 4 4 2 4 4 2 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:x 1 y , ?∞, 1;1? x 2yx+ln x, 0, +∞ 证明 1对于任意的x , x ∈?∞, 1, 有 1?x 0, 1?x 0. 因为当x x 时,
1 2 1 2 1 2
x x xx
1 2 1 2yy 0,1 2
1? x 1? x 1? x 1? x
1 2 1 2
x
所以函数 y 在区间?∞, 1内是单调增加的
1? x 2对于任意的x , x ∈0, +∞, 当x x 时, 有
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1 2 1 2
x
1yy x +ln x ?x +ln x xx +ln 0,1 2 1 1 2 2 1 2
x
2
所以函数 yx+ln x 在区间0, +∞内是单调增加的 10. 设 fx为定义在?l, l内的奇函数, 若 fx在0, l内单调增加, 证明 fx在?l, 0内也单
调增加 证明 对于?x , x ∈?l, 0且x x , 有?x , ?x ∈0, l且?x ?x
1 2 1 2 1 2 1 2 因为 fx在0, l内单调增加且为奇函数, 所以
f?x f?x ,fx ?fx , fx fx ,2 1 2 1 2 1
这就证明了对于?x , x ∈?l, 0, 有fx fx , 所以fx在?l, 0内也单调增加1 2 1 2 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间?l, l上的, 证明: 1两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; 2两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是
奇函数 证明 1设 Fxfx+gx. 如果 fx和 gx都是偶函数, 则 F?xf?x+g?xfx+gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数 如果 fx和 gx都是奇函数, 则 F?xf?x+g?x?fx?gx?Fx,所以 Fx为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数 2设 Fxfx?gx. 如果 fx和 gx都是偶函数, 则 F?xf?x?g?xfx?gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数 如果 fx和 gx都是奇函数, 则 F?xf?x?g?x[?fx][?gx]fx?gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数 如果 fx是偶函数, 而 gx是奇函数, 则 F?xf?x?g?xfx[?gx]?fx?gx?Fx,所以 Fx为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数?
2 21yx 1?x ;2 32y3x ?x ;
2
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1?x3 y ;2
1+x4yxx?1x+1; 5ysin x?cos x+1;
x ?x
a +a6 y
2
2 2 2 2 解 1因为f?x?x [1??x ]x 1?x fx, 所以fx是偶函数
2 3 2 3 2由f?x3?x ??x 3x +x 可见fx既非奇函数又非偶函数
2
2
1??x
1? x 3因为 f ?x f x , 所以 fx是偶函数
2
2
1+ x
1+x 4因为 f?x?x?x?1?x+1?xx+1x?1?fx, 所以 fx是奇函数 5由 f?xsin?x?cos?x+1?sin x?cos x+1 可见 fx既非奇函数又非偶函数
?x ??x ?x x
a +a a +a 6因为 f ?x f x , 所以 fx是偶函数
2 2 13. 下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数, 指出其周期: 1ycosx?2; 2ycos 4x; 3y1+sin πx; 4yx cos x;
25ysin x 解 1是周期函数, 周期为 l2π
π 2是周期函数, 周期为 l
2 3是周期函数, 周期为 l2 4不是周期函数 5是周期函数, 周期为 lπ 14. 求下列函数的反函数:3 1 y x+1 ;1?x 2 y ;
1+x
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ax+b 3 y ad?bc≠0;cx+d 4 y2sin3x; 5 y1+lnx+2;x
2 6
y
x
2 +1
3 3
3 3 解 1由 y x+1得xy ?1, 所以 y x+1的反函数为yx ?1
1? y
1?x 1?x 1?x 2由 y 得 x , 所以 y 的反函数为 y
1+x 1+ y 1+x 1+x
?dy+b
ax+b ax+b ?dx+b 3由 y 得 x , 所以 y 的反函数为 y
cy?a
cx+d cx+d cx?a
y
1 1 x 4由 y2sin 3x 得 x arcsin, 所以 y2sin 3x的反函数为 y arcsin
3 2 3 2
y?1 x?1 5由y1+lnx+2得xe ?2, 所以y1+lnx+2的反函数为ye ?2x x
y
2 2 x 6由 y 得 xlog , 所以 y 的反函数为 ylog
2 2
x x
2 +1 1? y 2 +1 1? x 15. 设函数 fx在数集 X 上有定义, 试证: 函数 fx在 X 上有界的充分必要条件是它在 X
上既有上界又有下界 证明 先证必要性. 设函数 fx在 X 上有界, 则存在正数 M, 使|fx|
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≤M, 即?M≤fx≤M. 这
这就证明了 fx在 X 上有下界?M 和上界 M 再证充分性. 设函数fx在X上有下界K 和上界K , 即K ≤fx≤ K取M|K |, |K |,
1 2 1 2 1 2
则M≤ K ≤fx≤ K ≤M ,1 2
即 |fx|≤M
这就证明了 fx在 X 上有界 16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值
x 和x 的函数值:1 2
2 π π 1 yu , usin x, x , x ;1 2
6 3
π π 2 ysin u, u2x, x , x ;
1 2
8, 4
2 3 y u, u1+x , x 1, x 2;
1 2
u 2 4 ye , ux , x 0, x 1;
1 2
2 x 5 yu , ue , x 1, x ?11 2
2 π 1 1 π 3 3
2 2 2 2 解 1ysin x, y sin , y sin
1 2
6 2 4 3 2 4
π π 2 π π 2ysin2x, y sin2? sin , y sin2? sin 1
1 2
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8 4 2 4 2
2 2 2 3 y, 1+ x y 1+1 2 , y 1+2 5
1 2
2 2 2
x 0 1 4 y e , y e 1 , y e e
1 2
2x 2?1 2 2??1 ?2 5ye , y e e , y e e
1 2 17. 设 fx的定义域 D[0, 1], 求下列各函数的定义域:2 1 fx ; 2 fsinx; 3 fx+aa0; 4fx+a+fx?aa0
2 2 解 1由 0≤x ≤1 得|x|≤1, 所以函数fx 的定义域为[?1, 1] 2由 0≤sin x≤1 得 2nπ≤x≤2n+1π n0, ±1, ±2 ?, 所以函数 fsin x的定义域为
[2nπ, 2n+1π] n0, ±1, ±2 ?3由 0≤x+a≤1 得?a≤x≤1?a, 所以函数 fx+a的定义域为[?a, 1?a]
1 1 1 4由 0≤x+a≤1 且 0≤x?a≤1 得: 当 0a≤ 时, a≤x≤1?a; 当 a 时, 无解. 因此当 0a≤ 时
2 2 2
1
函数的定义域为[a, 1?a], 当 a 时函数无意义
21 |x|1?
x18. 设 f x 0 |x|1, gxe , 求f[gx]和g[fx], 并作出这两个函数的图形1 |x|1x
1 |e |1 1 x0x
解 f [gx] 0 |e |1 , 即 f [gx] 0 x0x1 |e |1 ?1 x0?
1
e |x| 1 e |x| 1f x 0 g[ f x ]e e |x|1, 即 g[ f x ] 1 |x|11 ?1?
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e |x|1 e |x|119. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角?40°图 1?37. 当过水断面ABCD的面积为定
值S 时, 求湿周LLAC+CD+DB与水深h之间的函数关系式, 并说明定义域
0
图 1?37
h 解 AbDC , 又从
sin40
1
h[BC +BC +2cot40 ?h]S 得
0
2
S
0
BC ?cot40 ?h , 所以
h
S
2?cos40
0
L + h
h sin 40 自变量 h 的取值范围应由不等式组
S
0
h0, ?cot40 ?h0
h
确定, 定义域为 0h S cot40
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0 20. 收敛音机每台售价为 90 元, 成本为 60 元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订
购量超过 100 台以上的, 每多订购 1台, 售价就降低 1 分, 但最低价为每台 75 元 1将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数; 2将厂方所获的利润 P表示成订购量 x 的函数; 3某一商行订购了 1000 台, 厂方可获利润多少?解 1当 0≤x≤100时, p90令 0. 01x ?10090?75, 得x 1600. 因此当x≥1600 时, p75
0 0 当 100x1600 时, p90?x?100×0. 0191?0. 01x 综合上述结果得到 90 0≤ x≤100 p 91? 100 x1600?
75x≥1600 30x 0≤ x≤1002
P p?60x 31x? 100 x1600 215xx≥16002 3 P31×1000?0. 01×1000 21000元习题 1 ?21. 观察 一般项x 如下的数列x 的变化趋势, 写 出它们的极限:n n
1 1 x ;n
n
2
1
n 2 x ?1 ;
n
n
1
x 2 + 3 ;
n
2
n
n ?1 4 x ;n