文档介绍：2017/12/6
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材料结构与性能
授课教师:刘胜新
(18课时)
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第三章点群、空间群和晶体结构
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引言
群(Group)是某些具有相互联系规律的元素的组合,晶体对称操作符合一定规律的组合,这种群即是对称群(Symmetry Group)。晶体外形是一个有限对称图象,对其进行对称操作时,至少保持一点不动,即这些操作是点对称操作,它们组成点对称群,称为点群(Point Group)。
讨论点对称操作有哪些可能的组合方式,并对晶体做进一步划分。
群的概念和基本性质
群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合,群的元素可以是字母、数字、对称操作、点阵等。
任何一个群都应具有以下4个基本性质:
封闭性(Closure)
群G的n个不等效元素中,任两个元素组合或一个同类元素自身组合都是群中的一个元素。
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群中所有元素都遵循组合律,但组合次序不能变.
有唯一的单位元素(E)。它和群中任何一个元素的组合是元素本身。
群中每一个元素,必有一个相应的逆元素(Inverse Element)使得两者相乘为其本身。
以一个4次对称轴C4的全部操作所构成的群G来说明4个基本性质。
两个独立群的直接积
设有两个独立群GA和GB,其中GA是n阶群,GB 是m阶群。两个群中除了恒等元素外,没有其它共有元素,两个群的元素间相乘有交换律,即
两个群的直接积G以表示:
G是n×m阶群。
群的直接积是扩大群的一种最简单的方法。
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子群、母群及生殖元素
子群:若群GA的全部元素是群G中的元素,并且两者的结合律相同,称GA是群G的子群,而G是群GA的母群。如果对称元素GA和GB能够得到G的全部对称元素,则称这两个对称元素为群G中的两个生殖元素(Generating Element).
一组变换矩阵表示
极射投影
点群
该点群所有元素的极射投影以及一般位置点的正规点系(Regular Plint System,RPS)的极射投影。
一般位置点指不处在对称元素上的点;正规点系是指某一点经过点群所有对称操作导出的全部点的集合。
一般位置点的正规点系的总点数(又称等效位置点数)和点群的阶数相等。
在极射投影时,点群中所有对称操作都是经过投影基圆中心。
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对晶体外形的研究,人们发现共有32种晶态,每一种晶态对应着一种点群。
可以用不同方法导出32种点群。
A)从五种循环群1(C1)、2(C2)、3(C3)、4(C4)、6(C6)开始,再在每种循环群上加进各种新的对称操作,最终导出32种点群。
例如
在垂直于循环群对称轴的方向加上2次对称轴;在垂直于循环轴的方向或包含循环轴加上镜面;用非真旋转轴代替真旋转轴等。用这些操作或者这些操作的某一种组合可能会得出一些新的点群。
B) 首先找出仅由真旋转构成的所有群,这种纯旋转结晶学点群共有11种。然后在这11种点群的基础上,把每一种都加上反演对称操作,又获得11种点群。由这11种中心对称点群,又可以找出与11种纯旋转点群不同的10种非中心对称子群,最后导出了32种点群。是一种最快和最好的方法。
上述的两种导出方法有一个共同的缺点,就是导出点群后,还要再确定每一种点群分属于哪一种晶系。
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C)用推导7种晶系的方法也可以推导出32种点群。对每一种晶系在保证晶系的对称性不变的前提卞,加入可能的对称操作,这种导出方法的优点在于使点群与晶系的关系十分明确。
在导出点群时应该注意到在每一个点群中都有主导生殖对称元素,群内其它对称元素可以由主导生殖对称元素组合增殖生成。如果由一组矩阵表示点群,则生殖对称元素的变换矩阵就是点群的生成矩阵。
下面将用这种方法导出32种点群。
三斜晶系
三斜晶系单胞的棱长及其夹角不受任何限制。它可能的对称操作是1(C1)或1(i)。这晶系可以有2个点群。
1) 如果物体只有一个1(C1)恒等操作,它所属的点群是1阶的{C1)或{1}。其熊夫利斯符号是C1,国际简略符号是l,即点群符号是C1-1。
这种点群符号和其对称操作符号相同。因为C1-1 点群只有一种单一对称操作,所以,尽管点群符号和对称操作符号相同也不会引起混乱。这种点群的生殖对称元素就是C1(E),生殖矩阵就是恒等操作的变换矩阵。这种点群的极射投影图如附图1(a)所示。
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在图中没有标出对称元素的投影,因为任何方向都可以是1次轴,故不能标出它的位置。投影图中的一般位置点的等效点只有一个点,因为经对称操作后这个点仍在原来位置。
2)如果物