文档介绍：专题:函数的周期性对称性
1、周期函数的定义
一般地,对于函数,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。
显然,若T是函数的周期,则也是的周期。如无特别说明,我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。
说明:1、周期函数定义域必是无界的。
2、周期函数不一定都有最小正周期。
推广:若,则是周期函数,是它的一个周期;
,则周期为T;
的周期为的周期为。
2、常见周期函数的函数方程:
(1)函数值之和定值型,即函数
对于定义域中任意满足,则有,故函数的周期是
特例:,则是以为周期的周期函数;
(2)两个函数值之积定值型,即倒数或负倒数型
若,则得,所以函数的周期是
(3)分式型,即函数满足
由得,进而得
,由前面的结论得的周期是
特例:
,则是以为周期的周期函数;
,则是以为周期的周期函数.
,则是以为周期的周期函数.
,则是以为周期的周期函数.
,则是以为周期的周期函数.
,则是以为周期的周期函数.
,则是以为周期的周期函数.
,则是以为周期的周期函数.
(4)递推型:
(或),则的周期T= 6a(联系数列)
,则的周期T=5a;
其中,则是以为周期的周期函数。
3、函数的对称性与周期性之间的联系:双对称性函数的周期性
具有多重对称性的函数必具有周期性。即,如果一个函数有两条对称轴(或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心),则该函数必为周期函数。
相关结论如下:
结论1:两线对称型:如果定义在上的函数有两条对称轴、,即,且,那么是周期函数,其中一个周期
证明:∵得
得
∴
∴
∴函数是周期函数,且是一个周期。
【注意:上述不一定是最小正周期。若题目所给两条对称轴、之间没有其他对称轴,则是最小正周期。具体可借助三角函数来进行分析。下同。】
结论2:两点对称型:如果函数同时关于两点、()成中心对称,即和,那么是周期函数,其中一个周期
证明:由
得
得
∴函数是以为周期的函数。
结论3:一线一点对称型:如果函数的图像关于点()成中心对称,且关于直线()成轴对称,那么是周期函数,其中一个周期
证明:
推论1:如果偶函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期
推论2:如果偶函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期
推论3:如果奇函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期
推论4:如果奇函数关于点()成中心对称,那么是周期函数,其中一个周期
【函数的奇偶性、对称性、周期性的代数特征有相仿之处,这三性都是有函数方程决定的,方程的不同特征决定了函数不同的性质,要注意其共性与个性。】
【函数的奇偶性是函数对称性中的特殊情况,奇函数对称中心为(0,0),偶函数对称轴为y=0,带入结论1-3,可得推论1-4,所以学生在记忆时只需记住结论1-3即可,减少工作量】
【同理,教师可示范性给出一个结论的证明过程,其余可让学生进行证明】
典例精讲
一利用周期性求值:
例1、(★★)函数对于任意实数满足条件,若,则=___ _____。
例2、(★★)已知定义在R上的奇函数满足,则的值为( B )
A、-1 B、0 C、1 D、2
例3、(★★)已知奇函数满足的值为。
【提问:当所要求的值不在定义域中时,怎样通过变换将要求的函数值转化到已知解析式的这一段定义域中去?除了充分利用周期性外,还要注意题中的已知条件,如奇偶性、对称性等。】
例4、(★★★)的定义域是,且,若
求 f(2008)的值。
二利用周期性求解析式:
例5、(★★★)已知是以2为周期的偶函数,且当时,.
求在上的解析式。
解法1:
从解析式入手,由奇偶性结合周期性,将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上
∵, 则
∴, ∵,是偶函数
∴
解法2:
(从图象入手也可解决,且较直观)
如图:, .∵是偶函数
∴时
又周期为2,时
∴
例6、(★★★)已知函数是定义在上的周期函数,周期,,在上是二次函数,且在时函数取得最小值.
(1)证明:;
(2)求的解析式;
(3)求在上的解析式.
解:∵是以为周期的周期函数,且在上是奇函数,∴,∴.
②当时,由题意可设,
由得,∴,
∴.
③∵是奇函数,∴,
又知在上是一次函数,∴可设
而,
∴,∴当时,,
从而时,,故时,.
∴当时,有,∴.
当时,,
∴
∴.
【由以上两例