文档介绍：该【高二数学寒假提高班第四讲 】是由【小健】上传分享，文档一共【6】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高二数学寒假提高班第四讲 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第4讲导数的运算
【考纲要求】
掌握常用函数、基本初等函数的导数公式；掌握的导数的运算法则。
通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已
知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
【教学重难点】
重点：常见函数、基本初等函数的导数公式及运算法则
难点：常见函数、基本初等函数的导数公式及运算法则
【自主学习】
【知识点一】几个常见函数的导数
原函数
导导数
/■(x) = c
f'(x) =
f(x) = X
r（x）=
f (x) =》2
/（x）=
/■(》)=[ X
/（x）=
f (x) = &
f'(x) =
思考：仔细观察（3） （4） （5）的结构特点，你能得到函数f（x） = x",（neQ）的导函数?
【知识点二】基本初等函数的导数公式（★）
函数
导数
f (x) = c
m)=
f (x) = x",(ne Q)
m)=
/(x) = sinx
m)=
/(x) = cosx
m)=
f 3) = Q，,(Q > 0且Q 壬 1)
f©) =
f (x) = e*
/(x) =
f (x) = logfl x\a > 0且q A1)
f©) =
/(x) = Inx
m)=
思考：fsin—= cos—= -正确吗？
I 们 4 2
【知识点三】导数的运算法则
【重难点命题方向】
【典例一】应用公式求函数的导数
例1-1：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.
(1)
y = x2
(2) y = 2x
(3) y
(4) y = log3 x
(5)
(6) y = 3cosx-4sinx
, 、 Inx(7) y =—— x
(8)
y = (x + l)(x + 2)(x + 3)
(9) y = xtanx
/ 、 1-lnx
(10) y = 1 + lnx
例1-2：求下列函数的导数
(1) y = 2x cos x-3x log2 x
(2) y = ax5 + bx4 + ex3 + dx2 +ex + f
【典例二】导数运算法则在切线中的应用
例2-1：已知曲线C： y=3x4-2x3-9x2+4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
例2-2：求曲线y = lnx在点M (e,l)处的切线的斜率和切线方程？
例 2-3：已知函数 f (x) = x3 +ax2 +bx + l 的导数 f'(x)满足 f'(1) = 2a,f'(2) = -b,其中常数 a,beR,求曲线y = /'(x)在点(l,f (1))处切线的方程？
复合函数的概念 一般地，对于两个函数y = f (m)和" = g(x),如果通过变量"，y可以表
示成x的函数，那么称这个函数为函数y = f(w)和" = g(x)的复合函数，记作y = /(g(x)) o
复合函数的导数 复合函数丫 = f(g(x))的导数和函数y = f(")和" = g(x)的导数间的关系为
虹=£•<，即y对X的导数等于y对"的导数与"对X的导数的乘积•
若 y = f(g3))，则 y' = [f(g(x))] =f'(g(x))・g'(x)
探究点一复合函数的定义
例1指出下列函数是怎样复合而成的：
(1) y=(3 + 5.¥)2； (2) y=log3(.A'2—2x+5)； (3) y = cos 3x.
跟踪训练1指出下列函数山哪些函数复合而成：
(1) ,y = ln y[x； (2) y = esmA； (3) y = cos(鹏x+1).
探究点二复合函数的导数
问题如何求复合函数的导数？
例2求下列函数的导数：
1
(1) >=(2工一1)4； (2) 1=寸]2 ； (3) y=sin(—2工+示)； (4) y=102x+3.
跟踪训练2求下列函数的导数.
1 q
C1) y=ln (2) y=e3x； (3) y=51og2(2x+l).
探究点三导数的应用
例3 求曲线y=e2x+1在点(一§，1)处的切线方程.
跟踪训练3曲线y=e2"cos 3x在(0,1)处的切线与直线/平行，且与/的距离为寸，求直线，的方程.
【当堂检测】
函数y=(3x—2尸的导数为 ( )
2.
3.
A. 2(3%—2) B. 6x
若函数y=sinx,则等于 (
A. sin2x B. 2sinx
若y=/(U),则y'等于A. 2xf' (x2) B. 2xf (x)
C. 6x(3x~2)
D. 6(3x-2)
C • sin xcos x
()C. 4丕)
n 2D. cos x
4.
设曲线y=e心在点(0,1)处的切线与直线x+2y+l=0垂直，则a
例 4、求 y = sin4x +cos 4x 的导数.
例5、曲线y =x (x +1) (2—x)有两条平行于直线y =x的切线，求此二切线之间的距离.
【基础限时训练】
若函数 y = x2ex,贝！Jy' =
COQ X
函数y = l +竺的导数为 x
求下列函数的导数
/ 、 sin x - x cos x
(2) y =
cosx + xsinx
已知函数f(x) = x3+bx2+ax + d的图像过点P (0,2),且在点处的切线方程为 6x-y+ 7 = 0 ,求函数的解析式。
【拔高限时训练】
/■(》)在x = l处的导数为3,则f(x)的解析式可能为()
Af(x) = 2(x-1) B/(x) = 2(x-l)2
C /(x) = (x-1)2+3(x-1) Df(x) = x-1
若对任意的 xeR, /，(x) = 4x3,f ⑴=—1 则 f (x)是()
A. /(x) = x4 B. /(x) = x4 -2 C. /(x) = 4x3 -5 D. /(x) = x4 + 2
1 , 7
曲线y = — 2在点处的切线的倾斜角为()
D.-450
设函数y = xn+\ne N*)在点(1, 1)处的切线与x轴的交点横坐标为占，则• x2 • • • • • x„ =()
11〃
A - B C D 1
n n+1 〃+l
已知F(—1,1), Q(2,4)是曲线y = x2±的两点，求与直线PQ平行的曲线y = x2的切线方程。
【拓展提高】
1.
若函数f(x)=ex cos x,则此函数的图象在点(1, /(I))处的切线的倾斜角为()
.
曲线y—^3+3x2+6x— 10的切线中，斜率最小的切线方程为
设y=—2矿sinx,则y'等于()A. — 2excos x B. — 2exsinx
A. 0°
C. 2exsin x
D.
—2ex(sin x+cos x)
2.
曲线在点(―L 一 1)处的切线方程为()
3.
A. y=2x+l B. y=2x~ 1
已知» = a? + 3x2+2,若「(-1) = 4,则a的值是(
19 16 13A- T B- T c- T
D.
D.
y— 一2x+2
10T
1 Q
已知 f(x)=^x-\~3xf (0),则 f (1)=
已知抛物线y=a^+bx+c过点(1,1),且在点(2, 一1)处与直线y=x—3相切，求q、b、c的值.
【老师5分钟答疑】