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高三数学总复习综合测试题(1)
说明：本试卷分第一试卷(选择题)和第二试卷(非选择题)两部分，满分150 分，时间120分钟
第I卷(选择题)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集 U=R,集合 M={xlVP">2}, N=(x |logx7>log37),那么 MO(CuN)是
()
A. (x | x<-2} B. (x | x<-2 或 x>3} C. {x|x>3} D. {x|-2Wxv3}
2. 若函数f(x)=lg()在(.8, -1)上是减函数，则a的取值范围是()
A. a>2 B. a<2 C. aM2 D. aW2
3. 己知同=3,同=2,(瓦片)=6(T,如果(35 + 5^) -L(ma-b),则m的值为
)
32
23
29
42
A.—
B.—
c.
—
D.——
23
42
42
32
、m
都在平面
a内，
并且都不在平面8内，若p： 1、m中至少
有一条与B相交；q： a与。相交；则p是q的 ()
1 2 n_
5. 已知数列10n,10n<-,10n,--s它的前n项的积大于"，则正整数n的最小
值是 ()
A. 12 B. 11 C. 10 D. 8
6. 设m、n都是不大于6的自然数，则方程C^x -C^y2 =1表示的双曲线的个
数是 ()
A. 16 B. 15 C. 12 D. 6
7. 函数y=cos x , x仁［0,兀］的图像与直线x=0, y= - 1所组成的封闭图形，绕x轴旋
转一周所得的几何体的体积为 ()
3 B. n C. H 3 D. 2
8. 在100件产品中，有60件正品，40件次品，从中有放回地抽取3次，每次抽
取1件，那么恰有2次抽到正品的概率是 ()
A. B. C. D.
9. 已知复数 z 满足arg (3z - z )=—, I z+1 I = v2 ,则 argz= ()
4
10. 直线1： x+2y-3=0与圆C： x2+y2+x-6y+m=0有两个交点A、B, O为坐标原
点，，则m的值是 ()
V2
A. 2 B. 3 C. -1 D.—
2
11. 用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一色涂不同的
区域，但相邻的区域不能涂同一色，则不同的涂法共有 ()
A. 400 种 B. 460 种 /
C. 480 种 D. 496 种 /
12. 给定函数 f(x)=x2+ax+b,若对于任意 x、yGR,均有 pf(x)+qf(x)Nf(px+qy),其
中实数p,q满足p+q=l，那么p的取值范围是 ()
A. [0, 1] B. [-1, 0] C. [-1, 21 D. [-2, 11
第II卷(选择题)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，满分16分；把正确的答案写在题中 的横线上。
13. 在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1) = (x-2y+3)2表示的曲线是椭圆， 则m的取值范围为。
14. 曲线y = 5五上与直线2x-y-4=0平行的切线的纵截距是。
15. 己知(4-a) n(3+a)n的展开式中各项系数之和为an, (l+5x)n的展开式中各项系
数之和为bn,则lim一如 的值是 。
3a, +5bn
16. 在四边形ABCD中，设动点P沿折线B-C-D-A由B点向A点运动，点P移
动的路程是x, AABP的面积是y,现己知y=f(x) y *
的图象如图所示，给出下列四个结论：
(1) 四边形ABCD是等腰梯形，且AB〃CD； / \
(2) 四边形ABCD是平行四边形； ― 分一
U 5 9 14 x
(3) 当Q是AD的中点时，A ABC的面积为10；
(4) 当10<x〈14时，函数f(x)的解析式是f(x)=56-4x .
其中正确命题的序号是。(注：把正确的序号都填上)
三、解答题：本大题6个小题，共74分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。
17. (本小题满分10分)
某公司规定：一个工人在一个季度里如果有1个月完成任务，则可得奖金90元； 如果有2个月完成任务，则可得奖金210元；如果有3个月完成任务，则可得奖金330 元；如果3个月都未完成任务，则不得奖金。假如某工人每月能否完成任务是等可能 的，求这个在一个季度里所得奖金的数学期望。
18. （本小题满分12分）
C A3
△ ABC 中，sin A cos2 —+sin Ceos2 — = -sin B ,求角 B 的范围。
2 2 2
19. (本小题满分12分)
如图在正三棱锥ABC—AiBiCi中，各棱长都等于a, D、E分别是AG、BBi的
第18题图
中点，
(1 )求证：DE是异面直线AG与 BBi的公垂线段，并求其长度；
(II )求二面角E—AG—C的大小;
(III)求点C到平面AEC的距离。
20. (本小题满分12分)
下表是某家庭今年第一季度煤气用量和支付费用情况:
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 n?
14元
三月份
25 m3
19元
该市煤气收费的方法是：
煤气费=基本费+超额费+保险费，
如果每月用气量不超过最低额度An?时，只付基本费3元和每户每月额定保险费 C元；如果每月用气量超过最低额度A n?时，超过部分应按B元/ 的标准付费。
并知保险费C不超过5元，根据上面提供的资料确定A、B、C的值。
21. (本小题满分14分)
设函数f(x)与数列(an｝满足关系：
(1) ai>a ,其中a是方程f(x)=x的实根；
(2) a n+i= f(a n), nWN*.
如果f(x)的导数满足0< f《x)<l,
(I )证明：a n>a (n G N*)；
(ID判断an与am的大小，并证明你的结论。
22. (本小题满分14分)
己知圆C： x2+y2=4,A(J^,0)是圆内一点。Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线
交0Q于P,当点Q在圆C上运动一周时，点P的轨迹为曲线E,
（I ）求曲线E的方程；
（II）过点0作倾斜角为0的直线 与曲线E交于Bl、B2两点，当。在范围 （（）,；）内变化时，求AABiB?的面积S（0） 的最大值。
参考答案
—-BACC
BADD CBCA
一、13. (5,
25 1
+8)； 14, —; 15.-; 16. (1) (3) (4)
8 3
二、：此人在一个季度里所得的奖金&是一个随机变量，依题意得&的分布列
如下:
g
0
90
210
330
P
2
8
3
8
3
8
2
8
I 3 3 | 615
所以，Eg =0X — +90X — +210X — 330X — = = .
8 8 8 8 4
18. 而牟： ： sin A cos2 —+ sin C cos2 — = — sin B , 2 2 2
14-cosC . - 14-cos A 3 .
.・ sin A + sin C = — sin B ,
2 2 2
sin A +sin A cos C + sin C +sin C cos A= 3 sin B ,
sin A + sin C +sin (A + C) =3 sin B ,
*.* A+B+C=7t,.'・ sin (A + C) = sin B ,
/. sin A + sin C =2 sin B ,
艮 2b = a+c,
由余弦定理，得
2 , 2 /” + C、2
2 2 j 2 Q+C —( )
„ a'+c--b- ' 2
cosB = =
2ac 2ac
3(6Z ~ + c?)— 2cic
Sac
6ac-2ac 1
> =—
Sac 2
0〈Bv兀且函数y=cos x在［0, n］上是减函数，
jr tt
:.0<B<-.即B的范围是(0,一)。
3 3
19. ( I )证明：过D在面AG内作EG〃AC,分别交的、CG于E、G,则面EFG〃 面ABC〃面AEG, .I AEFG为正三角形，D为EG的中点，FD±EG,面EFG_L面AG,
73
.,.FD±ACi,又面 EFG±BBi, /.FD±BBi,故 DF 为 AG 和 BBi 的公垂线，计算得 DF=—a.
2
(II) 解:VAC=CCi, D 为 AG 的中点,ACDlACi,又由(I )可知，FDJ_AG, ...ZCDF为二面角F-AC.-C的平面角，计算得ZCDF=90°。
(III) 解：用体积法，点G到平面ACF的距离为』3a.
2
20. 解：设每月的用气量为xn?,支付费用为y元，依题意得：
3 + C, 0<x<A, (1)
y =-
3 + B(x-A) + C, x> A. (2)
,: CW5, ...3+CW8,
由于第二、三月份的费用均大于8,故用气量25 n?、35 nP均应大于最低额度A, 故将x=25,x=35分别代入(2)式得
‘14 = 3 + 8(25-A) + C, (3)
'19 = 3 + B(35-A) + C. (4)
(4) - (3)得 B=, (5)
代入(3)得 A=3+2C. (6)
由于当x=4时，代入(2)式得
4= 3+ [4 - (3+2C)]+C,
此方程无解，所以4WA,此时付款方式应(1)式，则有
3+C=4, C=l, 再代入(6)得 A=5,
所以 A=5, B=, C=l.
21. ( I )证明：(数学归纳法)
当n=l时，由题设知a〕>a成立； 假设当n=k时，ak>a成立，
V f'(x)>0, .I f(x)为增函数, a k+i=f ( a k)>f (a) = a, 于是 a k+i> a , 即对于n = k+l也成立，
据上可得，对n《N*,都有a„>a成立.
(II )解：令 g(x)=x - f(x),则 g ' (x)=l - f ' (x)>0,故 g(x)为增函数, 由 g (a)=a - f (a)=0,得 g(x) >g (a)=0,即 x > f(x), 由(I )知，a n> a , .I a n >f ( a n) =a n+i ■ (n £ N* )
22, 解：(I ) LP在AQ的垂直平分线上，又在半径OQ上，
.I I PQ I = I PA | 且 | OP I + I PA | = | 0Q | =2,
2
故P点的轨迹是以0、A为焦点，长轴长为2,中心在(丑，0)的椭圆: 2
i.
(II )设I OBi | =x，则I AB. | =2 - x,，由余弦定理得 I AB, |2 = | OB, |2+ | 0A |2 - 2 | OB, | • | 0A | cos 9 ,
(2-x) 2=x2+3~2 a/3 x・cos 0 ,
解得
4- 2a/2cos^
同理可得
s(o)= s徵用 q = S^ao 鸟 + s徵
=S |0A| • |0B| I s in 0 + ： |O4|. \0B2\ s in(〃 - 6»)
_ 11^1 sin <9 + sin。 )
~2' *4 —2 后cos。4 —2 面 os°)
V3 sin^ 1 1
= = V —.
3'血3 + 1 陌 sinO + A— 2
V3sin。
当且仅当V^sin。= ，即。=arcsin——时取等号
a/3 sin^ 3
.•.当0 = arcsin m时Smax0)=?•