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圆锥曲线
:
第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹;双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a,|F1F2|不可忽视。若2a,|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a，|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如
8表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)
(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (a b 0)，焦点在y轴上时2,2,1(a b 0)。,2 12
abab
方程Ax2,By2 C表示椭圆的充要条件是什么,(ABC?0，且A，B，C同号，A?B)。
若x,y R，且3x2,2y2 6，则x,y的最大值是____，x2,y2的最小值是___
2) abab
22
。 Ax,By C表示双曲线的充要条件是什么,(ABC?0，且A，B异号)
22
22
22
22
(1)椭圆:焦点在x轴上时
x
2
y
2
y
2
x
2
(2)双曲线:焦点在x轴上:
x
,
y
=1，焦点在y轴上:
y
,
x
,1(a 0,b 0)。方程
如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e 则C的方程为_______(答:
x2,y2 6)
2的双曲线C过点P(4,,)，
(3)抛物线:开口向右时y2 2px(p 0)，开口向左时y2 ,2px(p 0)，开口向上时
x 2py(p 0)，开口向下时x ,2py(p 0)。
2
2
(首先化成标准方程，然后再判断):
(1)椭圆:由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程
x
2
m,1
,
y
2
2,m
1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__(答:
3
(, ,,1) (1,))
2
(2)双曲线:由x
2
,y
2
项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
222222
提醒:在椭圆中，a最大，a b,c，在双曲线中，c最大，c a,b。
:
ab
个焦点( c,0);?对称性:两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心(0,0)，四个顶点
( a,0),(0, b)，
(1)椭圆(以
x
22
,
y
22
1(a b 0)为例):?范围:,a x a,,b y b;?焦点:两
其中长轴长为2a，短轴长为2b;?准线:两条准线x e越小，椭圆越圆;e越大，椭
圆越扁。
a
2
c
e ; ?离心率:
ca
，椭圆 0 e 1，
如(1)若椭圆
x
2
3
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最
小值为
5
m
5
,
y
2
1的离心率e
，则m的值是__(答:3或
25
);
__(答:22)
ab
两个焦点( c,0);?对称性:两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心(0,0)，两个顶点( a,0)，
其
2
2
(2)双曲线(以
x2
,
y2
:?范围:x ,a或x a,y R;?焦点: 1(a 0,b 0)为例)
中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其
方程可设为x,y k,k 0;?准线:两条准线x
2
2
a
2
c
; ?离心率:e
ca
，双曲线 e 1
bax。
p
e e越小，开口越小，e越大，开口越大;?两条渐近线:y
(3)抛物线(以y2 2px(p 0)为例):?范围:x 0,y R;?焦点:一个焦点(
,0)，其中p
2
的几何意义是:焦点到准线的距离;?对称性:一条对称轴y 0，没有对称中心，只有一
个顶点(0,0);
?准线:一条准线x ,
p2
; ?离心率:e
ca
，抛物线 e 1。
116a
如设a 0,a R，则抛物线y 4ax2的焦点坐标为________(答:(0,5、点P(x0,y0)和椭圆
xa
22
; ))
x0a
22
,
yb
22
(1)点P(x0,y0)在椭圆外 1(a b 0)的关系:x0a
22
,
y0b
2
2
1;
(2)点P(x0,y0)在椭圆上
,
y0b
2
2
,1;(3)点P(x0,y0)在椭圆内
x0a
22
,
y0b
2
2
1
6(直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交: 0 直线与椭圆相交; 0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故
0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件; 0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
(2)相切: 0 直线与椭圆相切; 0 直线与双曲线相切; 0 直线与抛物线相切;
(3)相离: 0 直线与椭圆相离; 0 直线与双曲线相离; 0 直线与抛物线相离。
提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线
x
22
ab
公共点的情况如下:?P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条;?P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条;?P在两条渐近线上但非原点，只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线;?P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。
,
y
22
,1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个
7、焦点三角形(椭圆一点与两焦点所构成的三角形)问题: S b2tan
P为短轴端点时，Smax的最大值为bc;
2
当|y0| b即 c|y0|，
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则?AMF,?BMF;(3)设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA?PB;(4)若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
9、弦长公式:若直线y kx,b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB
,1,x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB,,
1k
2
y1,y2，若弦AB所在直线
方程设为x ky,b，则AB
1,y2。特别地，焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计
算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆
xa
22
,xa
yb
22
22
1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=,yb
22
bx0ay0
2
2
;
bx0ay0
22
在双曲线
2