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中考数学专题讲座 探究、操作性问题
【知识纵横】
探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生
思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而
获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。 操作性问题是让学生按题目要求进
行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。
【典型例题】
【例 1】（江苏镇江)探索研究
1
如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P 为函数 y x2 在第一象限内的图象上的任一
4
点，点 A 的坐标为 (0，1) ，直线 l 过 B(0，1) 且与 x 轴平行，过 P 作 y 轴的平行线分别交 x 轴，
l 于 C，Q ，连结 AQ交 x 轴于H ，直线 PH 交 y 轴于 R ．
（1）求证： H 点为线段 AQ的中点；
（2）求证：①四边形 APQR 为平行四边形； ②平行四边形 APQR 为菱形；
y
P
A
C
x
O H
l
B Q
R
1
（3）除 P 点外，直线 PH 与抛物线 y x2 有无其它公共点？并说明理由．
4
1
【思路点拨 】（2）①证 △RAH ≌△ PQH ；②设 P m， m2 ，证 AP=PQ;（3）求
4
1
直线 PR 的解析式与抛物线方程 y x2 组成联立方程组，讨论方程组解的情况。
4
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【例 2】（福建南平）
（1）如图 1，图 2，图 3，在△ABC 中，分别以 AB ，AC 为边，向△ABC 外作正三角形，
正四边形，正五边形， BE ，CD 相交于点 O ．
①如图 1，求证： △ABE ≌△ ADC ；
②探究：如图 1， BOC ；
如图 2， BOC ；
如图 3， BOC ．
（2）如图 4，已知： AB ，AD 是以 AB 为边向 △ABC 外所作正
n 边形的一组邻边； AC ，AE 是以 AC 为边向 △ABC 外所作正 n
边形的一组邻边． BE ，CD 的延长相交于点 O ．
①猜想：如图 4， BOC （用含 n 的式子表示）；
②根据图 4 证明你的猜想．
【 思 路 点 拨 】（ 2） ② 由 正 n 边 形 的 内 角 定 理 ， 证
△ABE ≌△ ADC
。
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【例 3】（内江市）
在一平直河岸l 同侧有A，B 两个村庄， A，B 到 l 的距离分别是3km和 2km，
AB akm (a 1) ．现计划在河岸 l 上建一抽水站 P ，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图 13-1 是方案一的示意图，设该方案中管
道长度为 d ，且 d PB BA(km)（其中BP l 于点 P ）；图 13-2 是方案二的示意图，设
1 1
该方案中管道长度为 d ，且 d PA PB (k m) （其中点 A与点 A 关于 l 对称， AB 与 l 交于
2 2
点 P ）．
A A
A
B B
B K
l l l
P C P C P
图 13-1
A A
图 13-2 图 13-3
观察计算
（1）在方案一中， d km（用含 a 的式子表示）；
1
（2）在方案二中，组长小宇为了计算 d 的长，作了如图 13-3 所示的辅助线，请你按小宇
2
同学的思路计算， d km（用含 a 的式子表示）．
2
探索归纳
（1）①当 a 4 时，比较大小： d _______ d （填“＞”、“＝”或“＜”）；
1 2
②当 a 6 时，比较大小： d _______ d （填“＞”、“＝”或“＜”）；
1 2
（2）请你参考右边方框中的方法指导，
方法指导
就 a （当 a 1时）的所有取值情况进
当不易直接比较两个正数m 与 n 的大小时，
行分析，要使铺设的管道长度较短， 可以对它们的平方进行比较：
m n2 (m n)( m n) ， m n 0 ，
应选择方案一还是方案二？
(m2 n2 ) 与 (m n) 的符号相同．
【思路点拨 】参考方法指导解答探索 m2 n2 0 m n 0 m n
当 时， ，即 ；
归纳（ 2）。 当 m2 n2 0 时， m n 0 ，即 m n ；
当 m2 n2 0 时， m n 0 ，即 m n ；
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【例 4】（浙江宁波）如图 1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“ 2 开”纸、“4 开”
纸、“8 开”纸、“16 开”纸…．已知标准纸 的短边长为 a ．
．．．
（1）如图 2，把这张标准纸对开得到的“ 16 开”张纸按如下步骤折叠：
第一步 将矩形的短边 AB 与长边 AD 对齐折叠，点 B 落在 AD 上的点 B处，铺平后得
折痕 AE ；
第二步 将长边 AD 与折痕 AE 对齐折叠，点 D 正好与点 E 重合，铺平后得折痕 AF ．
则 AD : AB 的值是 ， AD ，AB 的长分别是 ， ．
（2）“2 开”纸、“4 开”纸、“8 开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个
比值；若不相等，请分别计算它们的比值．
（3）如图 3，由 8 个大小相等的小正方形构成 “ L ”型图案，它的四个顶点 E，F，G，H
分别在“ 16 开”纸的边 AB ，BC ，CD ，DA 上，求 DG 的长．
（4）已知梯形MNPQ 中，MN ∥ PQ ，∠M 90 ， MN MQ 2PQ ，且四个顶点
M，N，P，Q 都在“ 4 开”纸的边上，请直接写出 2 个符合条件且大小不同的直角梯形的面
积．
B H
A D A D
4 开 E
a 2 开 G
F
8 开
16 开 B B C
C
E F
图 1 图 2