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考试要求 . . ，会进行平面向量数量积的运算. ，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. . .
知识诊断·基础夯实
【知识梳理】
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θe.
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
[常用结论]
，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.
：
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.
【诊断自测】
(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)向量a与b夹角为θ，a在b上的投影向量为(|a|cos θ).( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.
2.(必修二P34例11改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝________.
答案 －
解析 cos θ＝＝＝－.
3.(必修二P21例13改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k＝________.
答案 ±
解析 由题意知(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝9－16k2＝0，解得k＝±.
△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·的值为________.
答案 －
解析 在△ABC中，由余弦定理得
cos A＝＝＝，
所以·＝||||cos(π－A)＝－||||·cos A＝－3×2×＝－.
考点突破·题型剖析
考点一 数量积的计算
例1 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A.－2 B.－1
答案 C
解析 由|a－2b|＝3，
可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，
又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1，故选C.
(2)(2023·八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则·＝________.
答案 0
解析 法一 ·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝0＋||·||cos ＋||||cos ＋0＝－＝0.
法二 建立平面直角坐标系，如图，
则A(0，2)，C，N，
则＝，＝，
则·＝－－＋＋＝0.
感悟提升 平面向量数量积的两种运算方法：
(1)基底法，当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
训练1 (1)已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，0)，e是与b方向相同的单位向量，则a
在b上的投影向量为( )
A.－e
C.－2e
答案 C
解析 设a与b所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝－，
故a在b上的投影向量为(|a|cos θ)e＝－.
(2)(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________.
答案 11
解析 (2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|·cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11.
(3)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝，则||＝__________；·＝__________.
答案 －1
解析 法一 ∵＝(＋)，
∴P为BC的中点.
以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，
∴||＝＝.
易得＝(0，－1)，＝(－2，1)，
∴·＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.
法二 如图，在正方形ABCD中，由＝(＋)，得点P为BC的中点，
∴||＝＝.
·＝·(＋)＝·＋·＝－2＋0＝－1.
考点二 数量积的应用
角度1 夹角与垂直
例2 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A.－6 B.－5
答案 C
解析 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，
即＝，
即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
(2)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________.
答案
解析 因为＝λ＋，且⊥，
所以有·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·
＝(λ－1)·－λ2＋2＝0，
整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，
解得λ＝.
角度2 平面向量的模
例3 (2023·华大新高考联盟质测)已知平面向量a，b，c满足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝8，则|a|＝________.
答案 4
解析 依题意，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，
所以a⊥(b－c)，
而b⊥c，a·b＝a·c＝8，|b|＝|c|＝2，
故〈a，b〉＝〈a，c〉＝45°，
故a·b＝|a||b|cos 45°＝8，解得|a|＝4.
感悟提升
(1)利用公式|a|＝.
(2)利用|a|＝.
(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
训练2 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝( )
答案 D
解析 由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，
所以|a－b|＝＝5，故选D.
(2)(2023·烟台、德州一模)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(a－2b)⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由已知得(a－2b)·a＝a2－2a·b＝|a|2－2|a|·|b|cos〈a，b〉＝0，
则|a|2－2|a|2cos〈a，b〉＝0，
所以cos〈a，b〉＝，
又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，故选B.
(3)(2023·赣州十七校联考)已知a＝(1，2)，b＝(－1，3)，若(ka＋b)⊥(2a－b)恒成立，则k的值为________.
答案 0
解析 因为a＝(1，2)，b＝(－1，3)，
所以ka＋b＝(k－1，2k＋3)，2a－b＝(3，1).
因为(ka＋b)⊥(2a－b)，
所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即3(k－1)＋2k＋3＝0，解得k＝0.
考点三 平面向量与三角的结合应用
例4 (多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则( )
A.||＝|| B.||＝||
C.·＝· D.·＝·
答案 AC
解析 由题意可知，||＝＝1，
||＝＝1，
所以||＝||，故A正确；
取α＝，则P1，
取β＝，则P2，
则||≠||，故B错误；
因为·＝cos(α＋β)，·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，
所以·＝·，故C正确；
因为·＝cos α，·＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，
取α＝，β＝，
则·＝，·＝cos ＝－，
所以·≠·，故D错误.
感悟提升 向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系.
训练3 已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，且m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且
·(－)＝18，求边c的长.
解 (1)由已知得m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以m·n＝sin C，
又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝2sin Ccos C＝sin C，sin C≠0，
所以cos C＝.
又0＜C＜π，所以C＝.
(2)由已知及正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝·＝18，
所以abcos C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，
所以c2＝36，所以c＝6.
分层精练·巩固提升
【A级 基础巩固】
1.(2023·深圳质检)设x∈R，向量a＝(2，x)，b＝(3，－2)，且a⊥b，则|a－b|＝( )
B.
答案 B
解析 因为向量a＝(2，x)，b＝(3，－2)，且a⊥b，
所以a·b＝6－2x＝0，解得x＝3，即a＝(2，3).
所以a－b＝(－1，5)，所以|a－b|＝.故选B.
，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a·c＝b·c＝2，则c的模为( )
B.
答案 D
解析 由题意知a，b是相互垂直的单位向量，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，设c＝(x，y)，由a·c＝b·c＝2，可得x＝y＝2，即c＝(2，2)，则|c|＝＝2.
3.(2022·合肥质检)若向量a，b为单位向量，|a－2b|＝，则向量a与向量b的夹角为( )
° °
° °
答案 C
解析 因为|a－2b|＝，
所以|a|2－4a·b＋4|b|2＝7.
又向量a，b为单位向量，
所以5－4cos〈a，b〉＝7，所以cos〈a，b〉＝－，
即〈a，b〉＝120°，故向量a与向量b的夹角为120°.故选C.
4.(2023·茂名五校联考)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(1，－)，|a－b|＝，则tan α＝( )