数学建模屋檐水槽模型.doc

文档介绍：《数学建模课程设计》
设计题目: 屋檐水槽问题数学建模
专业: 数学与应用数学
班级学号: 0909401-13
姓名: 童源
指导教师: 王扉
成绩:

2011 年 11 月 18 日
屋檐的水槽问题
房屋管理部门想在房顶的边檐安装一个檐槽,其目的是为了雨天出入方便。从屋脊到屋檐的房顶可看成是一个12米长,6米宽的矩形平面,房顶与水平方向的倾斜角度一般在
。
b

a
现有一公司想承接这项业务,允诺:提供一种新型的檐槽,包括一个横截面为半圆形()的水槽和一个竖直的排水管(直径为10cm),不论天气情况如何,这种檐槽都能排掉房顶的雨水。房管部门犹豫,考虑公司的承诺能否实现。请你建立数学模型,论证这个方案的可行性。
b
a
1 问题的简化
水槽的容量能否足以排出雨水的问题,简化为水箱的流入流出问题。从房顶上流下的雨水量是流入量;顺垂直于房顶的排水管排出的是流出量。水槽能否在没有溢出的情况下将全部雨水排出,即就是要研究水槽中水的深度与时间的函数关系。
2 假设
(1)雨水垂直下落并且直接落在房顶上;
(2)落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中;
(3)直接落入水槽中的雨水可忽略不计;
(4)落在房顶上的雨没有溅到外面去;
(5)在排水系统中不存在一些预料不到的障碍,象落在房顶上的杂物、树叶等。
3 符号说明
有关因素
因素类型
符号
单位
降水速度
输入变量
r
ms-1
时间
变量
t
s
房顶的倾斜角
输入参数
 
弧度
房顶的长度
输入参数
d
m
房顶的宽度
输入参数
b
m
水槽的半径
输入参数
a
m
水槽中水的高度
输出变量
h
m
水槽中水的容量
变量
V
m3
流入水槽的流速
变量
Q1
m3s-1
流出水槽的流速
变量
Q0
m3s-1
排水管的横截面积
参数
A
m2
4 模型的建立
根据速度平衡原理,对于房顶排水系统水槽中水的容量的变化率=雨水的流入速度- 排水管流出的速度。
分别是单位时间流入水槽和从水槽流出的雨水量的体积。雨
表示单位时间里落在水平面上雨水的深度,房顶的面积水流 b
实际受雨的水平面积,房顶上雨水的流速
流入水槽的速度应是在铅垂方向的分量
排水管的流出速度应与水槽中水的深度有关。
根据能量守恒原理
, ,
水槽中水的体积为
,
h

5模型的求解与分析
将表中的数据代入(7)式,用matlab解得

由假设
(1)若。,即时。
将代入上述模型,得到 h(t)= ^2
当h(t)<=,解得 v<=
由此得到,当v<= m/s时,水不溢出;当v> m/s时,水溢出。
下面,用matlab对这一结论进一步分析。
不妨取v=、 分别代入方程(*)求其数值解,并作出图形:
文件:
function hp=a(t,h1)
hp=(*-*s