文档介绍：定积分
2017/12/10
1
微积分在几何上有两个基本问题
;
“曲线梯形”的面积。
x
y
0
x
y
0
x
y
o
直线
几条线段连成的折线
曲线?
知识回顾:
2017/12/10
2
用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程:
分割
以直代曲
作和
逼近
2017/12/10
3
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(2)以直代曲:任取xi[xi-1, xi],第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.
(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为
(3) 作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值:
xi-1
y=f(x)
x
y
O
b
a
xi
xi
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:
每个小区间宽度⊿x
2017/12/10
4
如果当n+∞时,Sn 就无限接近于某个常数,
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:
分割---以直代曲----求和------逼近.
2017/12/10
5
定积分的定义:
一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度为,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和
如果无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作: .
2017/12/10
6
定积分的相关名称:
———叫做积分号,
f(x)dx —叫做被积表达式,
f(x) ——叫做被积函数,
x ———叫做积分变量,
a ———叫做积分下限,
b ———叫做积分上限,
[a, b] —叫做积分区间。
被积函数
被积表达式
积分变量
积分下限
积分上限
2017/12/10
7
按定积分的定义,有
(1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ,直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为
(2) 设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
(3) 设物体在变力F=F(r)的方向上有位移,则F在位移区间[a, b]内所做的功W为
2017/12/10
8
注:定积分数值只与被积函数及积分区间[a, b] 有关, 与积分变量记号无关
2017/12/10
9
=x2+1与直线x=1,x=3及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为____________.
2. 中,积分上限是___,积分下限是___,积分区间是______
2
-2
[-2,2]
=__________.
8
2017/12/10
10