文档介绍：参考文献
厦门大学国家精品课程《数学建模》网站
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《数学模型》,姜启源等编,高等教育出版社。
《高等数学》,《微积分》,嘉庚学院教材。
《常微分方程》,王高雄等,高等教育出版社。
《数学物理方程与特殊函数》,南京工学院数学教研组,高等教育出版社。
《数学物理方程》,谷超豪等,高等教育出版社。
《数学物理方程的Matlab解法与可视化》,彭芒麟著,清华大学出版社。
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微分方程模型
引例
物体冷却过程的数学模型
RLC电路
数学摆
人口模型
洛伦兹(Lorenz)方程
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物体冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中, 在时刻 t = 0 时, 测量得它的温度为 u0 = 1500C, 10分钟后测量得温度为 u1 = 1000C. 要求决定此物体的温度 u 和时间 t 的关系, 并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为 ua = 240C.
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解(1) 先了解有关热力学的一些基本规律。
热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的;
牛顿(Newton)冷却定律:在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例.
设物体在时刻 t 的温度为 u = u(t), 则温度的变化速度为又因为 u0 > ua, 所以温差 u-ua 恒正。故由牛顿冷却定律得到
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这里 k > 0 是比例常数。此为一阶微分方程。
(2) 从以上方程中“解出” u .
分离变量 u 和 t:
两边积分:
取对数:
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即:
根据“初始条件”: 当 t = 0 时,u = u0
得到: c = u0 - ua
于是
再根据条件: 当 t = 10 时,u = u1
得到:
由此,
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用给定的 u0 = 150, u1 = 100 和 ua = 24 代入,
得到
从而
(3) 根据此方程计算物体的温度:
20分钟后:u ≈ 700C
2小时后 u ≈ , 3小时后 u ≈
t →+∞时, u → 240C
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此例用微分方程解决实际问题的步骤
建立起实际问题的数学模型,也就是建立反映这个实际问题的微分方程;
求解这个微分方程;
用所得的数学结果解释实际问题。
应用已知的自然规律(例如此例中的牛顿冷却
定律),是建立微分方程的数学模型的一种常
用的方法。以下是另外两个例子:
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RLC电路
定义:包含电阻R、电感L、电容C及电源的电路称为RLC电路。
定义:包含电阻R、电感L及电源的电路称为RL电路。
基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和等于零。
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电流 I 经过电阻 R 的电压降为 RI;
电流 I 经过电感 L 的电压降为
电流 I 经过电容 C 的电压降为 Q/C。
RL电路的微分方程
根据基尔霍夫第二定律,设 R, L 及电源电压 E
为常数,当开关合上后,存在关系式
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