文档介绍：巢湖学院
毕业论文
题目矩阵的分解
学生姓名叶盛学号 07025019
所在院(系) 数学系
专业班级数学与应用数学 2007级1班
指导教师吴永生
完成地点巢湖学院
2011年 5月
矩阵的分解
叶盛
(巢湖学院数学系,巢湖 238000)
摘要:矩阵是代数中一个应用广泛的重要概念,是代数中的主要研究对象,将一矩阵分解为若干矩阵的和或积,是解决某些线性问题的重要方法,其技巧性,实用性强,本文首先分成四部分内容来阐述矩阵分解的形式及一些很常见的分解,最后举例说明矩阵分解的应用。
关键词:满秩分解特征值分解三角分解分解
矩阵的表示方法贯穿了高等代数的各个章节,高等代数中的许多问题都可以归结为矩阵的问题并最终通过矩阵解决。例如线性方程组的一些重要性质就反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,而且解线性方程组的过程也就是变换这种矩阵的过程。除此之外还有各种各样的问题提出了矩阵的概念,并且这些问题的研究常常表现为矩阵的某些方面的性质的研究,从而我们可以看出矩阵是数学中的一个应用广泛的极其重要的概念,矩阵也就成为代数中的一个主要研究对象。矩阵的分解方法是解决矩阵问题的主要方法之一,它的核心思想就是删繁就简,充分体现了解决数学问题的“转化“思想。本文从四个方面来论述矩阵的分解的形式,并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性。
满秩分解
定义1、设是一个矩阵,,则称为矩阵的一个满秩分解.
,,则
如果阶方阵的秩远远小于其阶数,无疑通过上式右边的行列式来求方阵
的特征值要比直接计算左边的行列式简单的多!
设为矩阵,通过行的初等变换,可以将矩阵化为如下形式的简化行阶梯形矩阵
其中
根据列向量组的性质,行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系,从矩阵的简化行阶梯形矩阵可以续出下面结论:
矩阵的秩为r
矩阵的第个列向量组成的向量组为其列向组的极大线性无关组
矩阵的每一个列向量均可由中的极大线性无关组线性表示,并且第j个列向量的线性表达式为
从而,矩阵可以表示为
若记=,则矩阵为m列满秩矩阵,若记
=
则为矩阵,因为矩阵的第列构成r阶单位矩阵,所以矩阵为满秩矩阵。=就是矩阵的一个满秩分解。
注:上面讨论说明任意矩阵都存在满秩分解,但矩阵的满秩分解未必唯一。
特征值分解
定义2:任意阶矩阵,存在酉矩阵,使得,其中为矩阵的特征值。称形如这样的分解叫做矩阵的特征值分解。
定义:任意阶矩阵,存在酉矩阵,使得,
其中,且为矩阵的特征值。
对于对称矩阵有如下结论:
:若为阶实对称矩阵,则存在正交矩阵,使得,其中为矩阵的特征值。
证明由性质1,知存在酉矩阵,使得
又由于为阶实对称矩阵,因此
从而,
得
因此得证。
:矩阵为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵,使得。
证明必要性因为为正定矩阵,,得存在可逆的正交矩阵,
使得,且,
,
从而有
充分性因为, 则
因此为对称矩阵。
又任意不为零的向量,有
令,又为非奇异矩阵, 从而
因此
所以为正定矩阵。得证。
:设是阶实对称矩阵,则是正定矩阵的充分必要条件是存在正定矩阵,使得,为任意正整数。
证明必要性因为为正定矩阵,,得存在可逆的正交矩阵,
使得,且,
对任意的正整数,令,则有
必要性由于为正定矩阵,因此对任意的非零向量,有。
又,则有,
即为对称矩阵且有
①当为奇数时,
又为正定矩阵,因此,即有
②当为偶数时,
又为正定矩阵,因此,即有
从而,知对任意不为零的向量,有。
因此是正定矩阵。得证。
:设为一个阶可逆矩阵,则存在一个正定矩阵和一个正交矩阵,使得或。
,知为正定矩阵
,得存在正定矩阵,使得
令,得
从而有
因此为正交矩阵。且又
同理可证的结论。得证。
:设是阶实对称矩阵,是的个单位正交特征向量,对应的特征值为。则。
证明因为为阶实对称矩阵,,知存在正交矩阵,
使得
设,其中为的的第个行向量,则,于是有
因的行向量是的特征向量,且为正交矩阵,故为的单位正交特征向量。得证。
定理:为正定矩阵的充分必要条件是存在个线性无关的向量,使得。
证明因为为正定矩阵,,知存在可逆的矩阵,使得
令,又由于为可逆矩阵,因此线性无关。
又得证。
:秩为的阶实对称矩阵可表示成个秩为小于等于1的对称矩阵之和。其组合系数为
的特征值。
证明