文档介绍：第七章因子分析与主成分分析
一、主成分分析概述
每个人都会遇到有很多变量的数据。
比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据;各个学校的研究、教学等各种变量的数据等等。
这些数据的共同特点是变量很多,在如此多的变量之中,有很多是相关的。人们希望能够找出它们的少数“代表”来对它们进行描述。
在多数实际问题中,不同指标之间是有一定相关性。由于指标较多及指标间有一定的相关性,势必增加分析问题的复杂性。
因子分析就是设法将原来指标重新组合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来指标。同时根据实际需要从中可取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来的指标的信息。
因子分析是考察多个数值变量间相关性的一种多元统计方法,它是研究如何通过少数几个主成分来解释多变量的方差—协方差结构。
导出几个主成分,使它们尽可能多地保留原始变量的信息,且彼此间不相关。
本章就介绍两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法:主成分分析(ponent analysis)和因子分析(factor analysis)。实际上主成分分析可以说是因子分析的一个特例。
二、主成分分析降维原理
先假定只有二维,即只有两个变量,它们由横坐标和纵坐标所代表;因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值;如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵(这在变量的二维正态的假定下是可能的)
那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上,数据变化很少;在极端的情况,短轴如果退化成一点,那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了;这样,由二维到一维的降维就自然完成了。
对于多维变量的情况和二维类似,也有高维的椭球,只不过无法直观地看见罢了。
首先把高维椭球的主轴找出来,再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量;这样,主成分分析就基本完成了。
注意,和二维情况类似,高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合,叫做主成分(ponent)。
正如二维椭圆有两个主轴,三维椭球有三个主轴一样,有几个变量,就有几个主成分。
选择越少的主成分,降维就越好。什么是标准呢?那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议,所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约85%即可,其实,这只是一个大体的说法;具体选几个,要看实际情况而定。