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第九章 概率与统计初步
一、计数原理
1、 （分类计数）加法原理：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有：n m m m N +++= 21种不同的方法；
2、 （分步计数）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，……做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有：n m m m N ???= 21种不同的方法；
3、 区分做事情的方法是“分类”还是“分步”主要看能否一步做完，能够一步做完的就是分类（用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）；
二、排列与组合
1、 排列数公式：从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有排列的个数，
叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数，用符号n m
A 表示，且：
2、 n 的阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，记作：!n ，且：
3、 组合数公式：从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数，用符号n m
C 表示，且：
组合数公式也可写为：
4、 组合数的两个性质：()()
n
m n
m n n m
n m n n m C
C
C C C 1121--+-+==
5、 排列与组合的区别：排列与顺序有关；组合与顺序无关。
()()()()
n m m n n n n A n m
≤+---=,121 ()()10,1221!=?--=！规定： n n n n ()()()()()()
1
,,1
221121!
=≤?--+---=
=
n n
m
n
m C n m m m m m n n n n m A C
规定： ()!
!!m n m n C n m -?=()!
!m n n A n m
-=为：易知排列数公式也可写
三、概率
1、 基本概念
（1） 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种结果的现象；
（2） 随机试验的特征：可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以
明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果
会发生；
（3） 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A 、B 、C 表示；
（4） 必然事件：在一次随机试验中必然要发生的事件，用Ω表示（Ω读作“omiga ”，
Ω对应的小写希腊字母是“ω”）； （5） 不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用φ表示（φ读作“fai ”）； （6） 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件，即：最简单的随机事件； （7） 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件；
2、 频数与频率
（1） 频数：在n 次重复试验中，事件A 发生了m 次()n m ≤≤0，m 叫做事件A 发
生的频数；
（2） 频率：在n 次重复试验中，事件A 发生的频数在试验总次数中所占的比例n
m ，
叫做事件A 发生的频率； 3、 概率
（1） 一般地，当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：； （2） 概率的性质：
i. 对于必然事件Ω：()1=ΩP ii. 对于不可能事件φ：()0=φP iii. ()10≤≤A P 4、 古典概型
（1） 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生
的可能性相同，那么称这个随机试验属于古典概型；
（2） 概率：设试验共有n 个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，
事件A 包含m 个基本事件，那么事件发生的概率为：
（3） 事件的“交”：“B A ”表示B A 、同时发生，记作：AB ； （4） 事件的“并”：“B A ”表示B A 、中至少有一个会发生，又称为事件A 与事
件B 的和事件；
()n
A A P m ==
基本事件总数
包含的基本事件
（5） 事件的“否”：A 表示事件A 的对立事件；（A 读作a bar ，“A 拔”）
（6） 互为对立的事件：若事件A 是事件B 的对立面，且Ω==B A B A ,φ;（对
立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件A 与B 有且仅有一个发生） （7） 互斥事件（互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：φ=B A ；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件）
（8） 相互独立事件：在随机试验中，如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的可能
性的大小，即在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率等于事件B 原来的概率，那么称事件A 与事件B 相互独立；(事件A 发生与否，不影响事件B 的概率) （9） 若A 、B 是互斥事件，则：()()()B P A P B A P +=
（10） 若A 、B 是对立事件，则：()()B P A P +=1，即：()()A P A P -=1 （11） 若A 、B 不是互斥事件，则：()()()()B A P B P A P B A P -+= （12） 若A 、B 是相互独立事件，则：()()()()B P A P AB P B A P ?==
四、总体、样本与抽样方法
例1：为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取102名学生进行测量； 1、 总体：在统计中，所研究对象的全体；例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体；
2、 个体：组成总体的每一个对象；例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；
3、 样本：被抽取出来的个体的集合；例1中“抽取的102名一年级学生的身高”是样本；
4、 样本容量：样本所含个体的数目；例1中“102”是样本容量；
5、 抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；
6、 说明：当总体中的个数比较小时，常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样；
五、用样本估计总体
1、 样本均值：()n x x x n
x +++
=
211 2、 样本方差：()()
(
)[]2
2
2
2
1
2
1
x
x x
x
x
x n
S n -++-+-=
3、 样本标准差：()()
(
)[]2
2
2
2
1
1
x
x x
x x x n
S n -++-+-=
4、 说明：均值反映了样本和总体的平均水平；方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；
5、作频率分布直方图的方法：①把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；
②然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形，
每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图。
注：频数是指各组内数据的个数；每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的频率；
例：作出表格1中数据的频率分布直方图（本例题引用来自百度搜索）
表格 1
如果将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图
六、章节习题
§ 计数原理
(1)某人到S城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅
社还剩4间单人房、6间双人房，乙旅社剩下9间单人房、2间双人房，则现在住宿有种不同的选择；
(2)一家人到S城旅游，入住旅社的空房只剩下12间单人房和8间双人房，现需要订
一间单人房和一间双人房，有种不同的选择；
(3)4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，共有种不同的投递的方法；
(4)4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的
投递方法共有种；
(5)3封不同的信，要投到4个不同的信箱中，共有种不同的投递的方法；
(6)一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本
阅读，不同的选法有种；
(7)一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本
文艺书和一本科技书回家阅读，不同的选法有种；
(8)由1，2，3，4，5五个数字组成的三位数，共有个；