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习题六解答
1. 设X
求出：以下随机变量的分布律。（1）2+X ；（2）1+-X ；（3）2X 。 解 由X
由此表可定出
（1）2+X
（2）1+-X
（3）2X 的分布律为
其中()
()()24
682242=+=-=+===X P X P X P 。
2. 设随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，记随机变量=Y ,
1,1;1,0>≤X X 若若试
求随机变量Y 的分布律。
解 由于X 服从参数1=λ的泊松分布，因此
(),,2,1,0,!
!11
1 ====--k k e e k k X P k
而 ()()()()11
12!
1!01020---=+==+==≤==e e e X P X P X P Y P ；
()()()1211111--=≤-=>==e X P X P Y P 。
即Y 的分布律为
3. 设X 的密度函数为()=x f ,
0,2x
,
;10其他y
=
,
0,
21
y
e y -π
.
;0其他>y
6. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数X e Y =的密度函数()y f Y 。
解 ()=x f X ,
,
x e - .;0其他>x
x e y =的反函数()()y
y h y y h 1
,ln =
'=，因此所求的Y 的密度函数为 ()()()()='=y h y h f y f X Y
ln 1,0,
y e y - ,
;0ln 其他>y
= ,
0,12y .
;
1其他>y
7. 设X 服从()1,0N ，证明a X +σ服从()
2,σa N ,其中σ,a 为两个常数且0>σ。 证明 由于()1,0~N X ,所以()+∞σ时，a x y +=σ为单增函数，其反函数()()σ
σ1
,=
'-=y h a
y y h ,因此Y 的
密
度
函
数
为
()()()()()+∞=-==20
3
23102dx X P Y P 。 因此所求分布律为
9. 设二维随机变量()Y X ,的分布律
；（３）X 2；（４）XY 。
（1）
（２）
由此得X 2的分布律为
（４）
１０. 设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立，??
?
????? ??41,1~,41,1~B Y B X ,
（１）记随机变量Y X Z +=，求Z 的分布律；
（２）记随机变量X U 2=，求U 的分布律。 从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布，Y X +与X 2的分布并不一定相同，直观地解释这一结论。
解（１）由于??
?
????? ??41,1~,41,1~B Y B X ，且Ｘ与Ｙ独立，由分布可加性知
???
??+41,2~B Y X ，即()()2,1,0,434122=??
? ????? ?????? ??==+==
-k k k Y X P k Z P k
k ,经计算有
（２）由于
因此
易见Y X +与X 2的分布并不相同。直观的解释是的Y X +与X 2的取值并不相同，这是因为X 与Y 并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。
１１. 设二维随机变量()Y X ,的联合分布律为
（１）求()Y X U ,max =的分布律； （２）求()Y X V ,min =的分布律。
解 （１）随机变量U 可能取到的值为１，２，３中的一个，且
()()()()()()()()()()
()()()
()()()()()
;
9
5
919292003,32,31,33,23,13,max 3;
3
1919202,21,22,12,max 2;
9
1
1,11,max 1=++++===+==+==+==+=======++===+==+=============Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P U P
Y X P Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P U P 综合有
（２）随机变量V
()()()
()()()()();9
5929202311,31,23,12,11,11,min 1=++++===+==+==+==+======Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P V P 同理可求得
()(),1
3,12====V P V P 综合有
１２. 设二维随机变量()Y X ,服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线
0,0==y x ，2,2==y x 所围成的区域，求X Y -的分布函数及密度函数。
解 ()Y X ,的联合密度函数为
1,
02,02;(,)4
0,
x y f x y ?<<<<?=???
其他.
设Y X Z -=，则Z 的分布函数
()()
()()??=
≤-=≤=zz
D Z dxdy
y x f z Y X P z Z P z F ,
其中区域(){}z y x y x D z ≤-=:,，
当2-<z 时，，此时
()??==z
D Z dxdy z F 00
当02<≤-z 时，积分区域见z D ，此时
()()()()222812214141
41
,z z D dxdy
dxdy y x f z F z D D Z z z +=-?=?=
=='????'
的面积区域 其中z D '是区域z D 限在20,20<<<<y x 中的那部分。
当20<≤z 时，积分区域z D ，此时
()()()()
2
2
28
112214414