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《概率论与数理统计》
第一章 随机事件与概率
1．事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =?=?
（2）)()(
)()(BC A C AB C B A C B A =??=?? （3）))(()(
)()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? （4）B A AB B A B A ?==?
3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP
（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===n
k k
n k k
A P A P 1
1
)()(
（n 可以取∞）
（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=
（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?
（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率
（1） 定义：若0)(>B P ，则)
()
()|(B P AB P B A P =
（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==
n
i i
i
B A P B P A P 1
)|()()(
（4） Bayes 公式： ∑==
n
i i
i
k k k B A P B P B A P B P A B P 1
)
|()()
|()()|(
7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =? （注意独立性的应用）
第二章 随机变量与概率分布
1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑i
i
p
=1
（3）对任意R D ?，∑∈=
∈D
x i i
i p
D X P :)(
2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(
,0)(-=≥?
+∞
∞
dx x f x f ；
（2）?
=≤≤b
a
dx x f b X a P )()(；
（3）对任意R a ∈，0)(==a X P
4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质
（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤； （5）对离散随机变量，∑≤=x
x i i
i p
x F :)(；
（6）对连续随机变量，?
∞
-=
x
dt t f x F )()(为连续函数，
且在)(x f 连续点上，)()('
x f x F = 5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2
σμN X ，则)(
)(σ
μ
-Φ=x x F ；
（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =
（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；
（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则
|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
第四章 随机变量的数字特征 1．期望
(1) 离散时 ∑=i i
i p
x X E )(，∑=
i
i
i
p
x g X g E )())(( ；
(2) 连续时?+∞∞
-=
dx x xf X E )()(，?+∞∞
-=dx x f x g X g E )()())((；
(3) 二维时∑=
j
i ij j i p y x g Y X g E ,),()),((，dy dx y x f y x g Y X g E ?
?
+∞∞-+∞
∞
-=),(),()),((
(4)C C E =)(；（5）)()(X CE CX E =； （6）)()()(Y E X E Y X E +=+； （7）Y X ,独立时，)()()(Y E X E XY E = 2．方差
（1）方差2
2
2
)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=，标准差)()(X D X =σ；
（2）)()( ,0)(X D C X D C D =+=； （3）)()(2
X D C CX D =；
（4）Y X ,独立时，)()()(Y D X D Y X D +=+ 3．协方差
（1）)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--=；
（2）),(),( ),,(),(Y X abCov
bY aX Cov X Y Cov Y X Cov ==； （3）),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+；
（4）0),(=Y X Cov 时，称Y X ,不相关，独立?不相关，反之不成立，但正态时等价； （5）),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+
4．相关系数 )
()()
,(Y X Y X Cov XY σσρ=
；有1||≤XY ρ，1)( ,,1||=+=??=b aX Y P b a XY ρ
5．k 阶原点矩)(k k X E =ν，k 阶中心矩k k X E X E ))((-=μ 第五章 大数定律与中心极限定理
1．Chebyshev 不等式 2
)
(}|)({|εεX D X E X P ≤≥- 或2
)
(1}|)({|εεX D X E X P -
≥<-
2．大数定律
3．中心极限定理
（1）设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布2)( ,)(σμ==i i X D X E ，则
) ,(~2
1σμn n N X n
i i ∑=近似， 或) ,(~12
1
n N X n n i i
σμ∑=近似 或)0,1(~ 1
N n n X n
i i
近似
σ
μ
∑=-，
（2）设m 是n 次独立重复试验中A 发生的次数，p A P =)(，则对任意x ，有
)(}{
l i m x x n p q
np m P n Φ=≤-∞
→或理解为若),(~p n B X ，则),(~npq np N X 近似
第六章 样本及抽样分布 1．总体、样本
（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）； （2） 样本数字特征：
样本均值∑==n
i i X n X 1
1（μ=)(X E ，n X D 2)(σ=）；
样本方差∑=--=n
i i X X n S 1
22
)(11（
22)(σ=S E ）样本标准差
∑=--=
n
i i X X n S 1
2)(11 样本k 阶原点矩∑==n i k i k X n 11ν，样本k 阶中心矩∑=-=n i k
i k X X n 1
)(1μ
2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数
3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义） （1）2
χ分布
)(~22
22212n X X X n χχ+++= ，
其中n X X X ,,,21 独立同分布于标准正态分布)1,0(N ，若)(~ ),(~
2212n Y n X χχ且独立，则)(~212n n Y X ++χ；
（2）t 分布 )(~/n t n
Y X t =
，其中)(~ ),1,0(~2n Y N X χ且独立；
（3）F 分布 ),(~//212
1
n n F n Y n X F =
，其中)(~),(~2212n Y n X χχ且独立，有下面的
性质
)