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正弦定理和余弦定理测试题
△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )
3
B ．8－4 3
C ．1
3
2．(文)在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝43，为使此三角形只有一解，a 满足的条件是( )
A ．0 B ．a ＝6
C ．a ≥43或a ＝6
D ．0 (理)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( )
A ．(1，2)
B ．(2，3)
C ．(3，2)
D ．(1,2)
3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，且a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )
A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120°
4．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )
A ．－12
C. －1
D. 1
(理)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b
a
＝( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3
D. 2
5．(文)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )
5
.
(理)△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC ，那么b 为( )
A ．1＋ 3
B ．3＋ 3
＋33
D ．2＋ 3
6．(文)(在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( )
A ．5
2
D ．25
(理)在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2
，则cos A ＝( ) 7．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．
8．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255
，AB →·AC
→
＝3，则△ABC 的面积为________．
(理)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 2
3
＝
1上，则sin A ＋sin C
sin B
的值为________．
9．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则∠A 的大小为________．
(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．
10．(文)△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B
2
)，－1)，且m ⊥n .
(1)求角B 的大小；
(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．
(理)△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2
B
2
－1)且m ∥n .
(1)求锐角B 的大小；
(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．
11.(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
(理)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c
b 0，
∴c 20，∴c 2>3.∴3b ，∴此时B ＝π
6
，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－3c ＋2＝0，
∴c ＝2或c ＝1.
（理）[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．
[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ????2cos 2B
2－1＝－3cos2B ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π) ∴2B ＝2π3，∴B ＝π
3.
(2)∵B ＝π
3，b ＝2，∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac
得，a 2＋c 2－ac －4＝0
又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) S △ABC ＝12ac sin B ＝3
4
ac ≤3
(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．
11、（文）[答案] C [解析] 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ×a 2＋b 2－c 2
2ab
，
整理得b 2＝c 2，∴b ＝c ，∴则此三角形一定是等腰三角形．
[点评] 也可以先由正弦定理，将a ＝2b cos C 化为sin A ＝2sin B cos C ，利用sin A ＝sin(B ＋C )代入展开求解．
（理）[答案] A [解析] 依题意得sin C
sin B
2
x ＋2>2x
，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A. 14、[答案] ①④
[解析] ①一解，a sin B ＝
22<1<2，有一解．②两解，b ·sin A ＝152
<56，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．
15、（文）[解析] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝1
3
(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋22
3
sin C ，