文档介绍：24.(12分)(2013•江西)某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
(1)操作发现:在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是①②③④(填序号即可)
①AF=AG=AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME.
(2)数学思考:在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量关系?请给出证明过程;
(3)类比探究:
(i)在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△: 等腰直角三角形.
(ii)在三边互不相等的△ABC中(见备用图),仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE,M是BC的中点,连接MD和ME,要使(2)中的结论此时仍然成立,你认为需增加一个什么样的条件?(限用题中字母表示)并说明理由.
25.(12分)(2013•江西)已知抛物线yn=﹣(x﹣an)2+an(n为正整数,且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An﹣1(bn﹣1,0)和An(bn,0),当n=1时,第1条抛物线y1=﹣(x﹣a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推.
(1)求a1,b1的值及抛物线y2的解析式;
(2)抛物线y3的顶点坐标为( 9 , 9 );依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为( n2 , n2 );所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 y=x ;
(3)探究下列结论:
①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长,直接写出A0A1的值,并求出An﹣1An;
②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.
25.(12分)(2014•南昌)如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形,线段AB称为碟宽,顶点M称为碟顶,点M到线段AB的距离称为碟高.
(1)抛物线y=x2对应的碟宽为 4 ;抛物线y=4x2对应的碟宽为;抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为;抛物线y=a(x﹣2)2+3(a>0)对应的碟宽为;
(2)抛物线y=ax2﹣4ax﹣(a>0)对应的碟宽为6,且在x轴上,求a的值;
(3)将抛物线y=anx2+(an>0)的对应准蝶形记为Fn(n=1,2,3…),定义F1,F2,…,Fn为相似准蝶形,﹣1的相似比为,且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点,现将(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准蝶形记为F1.
①求抛物线y2的表达式;
②若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2,…Fn的碟高为hn,则hn= ,Fn的碟宽有端点横