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三维可压缩绕球流的整体线性稳定性研究
第28卷第1期
1月
计算物理
CHINESEJOURNALOFCOMPUTATIONALPHYSICS
Jan.,
文章编号:1001?246X()01-0010-09
三维可压缩绕球流的整体线性稳定性研究
辛晓峰,柳阳,马东军,孙德军
(,安徽合肥230027;,四川绵阳621900)
摘要:研究基于三维可压缩Navier—Stokes方程拟线化办法的整体稳定性问题的数值求解,采用隐式重启的
,研究其在亚临界参数Reynolds数Re=200,马赫数
M=,以及超临界参数Re:300,M=,Mach数的增加(直至M=)
对流场模态的转变没有定性影响.
核心词:整体稳定性;可压缩流动;绕球流
中图分类号:0354文献标记码:A
O引言
(或弱非平行流,其局部可视为
平行流),基本流在两个坐标方向上是均匀的,能够将小扰动在这两个方向上做Fourier展开,得到的线化
小扰动方程是常微分方程,通过该常微分方程的求解能够进行基本流的时间模式,空间模式的稳定性分析,
或者分析小扰动的时空发展特性等…;如果存在一种主流方向,且能够认为扰动量在流向是慢变的(例如
边界层流动),则能够将扰动分成快变的波状部分和慢变的形状函数部分,进而得到抛物化的稳定性方
,以上办法则都不合用,()方程当作是
一
个动力系统
:AlI,(1)a
t
通过求解系数矩阵A的特性值和特性向量分析流动的稳定性,这种办法就是整体稳定性分析.
对于基本流是二维,扰动也是二维的状况,整体稳定性分析已有较广泛的应用;对于基本流是二维
(或轴对称),扰动为三维的状况,能够将扰动量在第三个方向上做Fourier展开,转化为一系列二维扰动的
,,计算量和存储量都大
大增加(Theofilis指出,三维状况下存储系数矩阵需要10T量级的存储量),现在国际上极少有人研究,并
且仅针对不可压缩流动的问题..
绕球流是一种基本的三维流动,其流动状态可根据Reynolds数的变化分为定常的轴对称和平面对称流
动,,由基本流的轴对称性将计算简化,
加三维扰动,得到了轴对称到平面对称流动叉式分叉的临界Reynolds数Re.=
可压缩的办法以定常的轴对称流动为基本流,整体稳定性计算时仍然用三维轴对称的基本流得到了与
Natarajan等类似的成果;同时,还对椭球的非轴对称(有攻角,平面对称)的基本流做了整体稳定性分析.
但是其所做问题的Reynolds数都是Re<Re,得到的扰动特性值都是稳定的(负值),并且在求解特性值时
没有优先次序,造成大量非重要特性值的求解,使得计算时间十几倍甚至几十倍增加.
实际应用中的空气动力学问题多为带攻角(基本流非轴对称)的可压
缩流动,发展一套计算可压缩流动
的三维整体稳定性分析办法(程序)
三维可压缩方程,采用隐式重启的Arnoldi办法求解特性值问题,并对特性值问题实现了并行求解,着重研
收稿日期:—11,30;修回日期:—06,07
基金项目:国家自然科学基金(10772172,10602056,1043)资助项目
作者介绍:辛晓峰(1982一),男,山东烟台,博士生,重要从事计算流体力学及流动稳定性的研究
第1期辛晓峰等:三维可压缩绕球流的整体线性稳定性研究
究了非轴对称基本流下的可压缩绕球流的三维整体稳定性分析.
1数值办法
本文的数值模拟采用普通曲线坐标系下量热完全气体(=),其三
维物理坐标系下的无量纲形式为
dQ+++一
f+坚+1:0,(2)a,aayaze,,,.az/
其中Q为守恒型变量,Q=(p,pu,pv,pw,pe);F,G,H为无粘通量;F,G,日为粘性通量;M为来流
马赫数;Re为Reynolds数,
Re:.(3)
其它无量纲量用的速度特性量为远场声速o.
了1aQ=丑(Q),
R:一『!二!+!二垒+皇二皇1.
d言d叼d
式(4)能够采用以下的格式离散:
(?,
(4)
(5)
(6)
其中11,表达现在的时问层,(I1,十1),当=.
采用近似因子分解法求解这个隐式问题,能够将问题化为求解系数矩阵为块三对角矩阵的线性方程,但会引
,需要若干步子迭代.
(5)式中无粘通量的离散采用Roe格式,如
()=1【(QL)+F(Q)一IAI(Q一QL)】l:一1【(QlJ)+F(Q)一IAI(Q一QL.
(7)
在实际计算中,物理量Q定义在网格中心点上,Q和Q都要通过插值来得到,视具体计算状况决定与否
,采用的是不含TVD限制器的QUICK格式,
Q/2?L=(Q+Q…)+†(Q一2Q+Q),
(8)
Q/2?=(Q;+Q)一?(Q一2Q+Q).
与TVD的格式如MUSCL相比,这种格式耗散更小,(5)中粘性部分的离散采用二
[9—10]的计算成果.
-S方程的近似线化
通过直接数值模拟的定常求解得到稳定的基本流后,必须将N-S方程线化从而得到式(1)中的系数矩
阵A…].对不可压缩的二维流动,能够通过求解线化小扰动方程来得到其特性值问题;对可压缩的二维流
动,因能量方程必须耦合求解,其线化小扰动方程的形式比较复杂,会多出许多需要离散的项,边界条件
-S方
程的办法,本文将该办法应用于三维可压缩N-S方程,从而能够避免线化小扰动方程的离散.
控制方程(2)能够写成
l2计算物理第28卷
:H),(9)
其中lf为原始变量(p,u,,W,p),(1I.)=0,式
(9)能够在基本流附近展开,
f(u):):f(Uo)+n,(10)
略去高阶项,只保存线性部分,(9)式,(10)式能够写为
:H,Au?.(11)
a,a?
同样U为原始变量(P,u,,W,P)构成的矢量,而
A:(12)
Ou
只与基本流有关.
对式(11)积分至时间可得
U(T)=Bu(0),(13)
其中=(13)是一种线化的方程,对该方程的求解能够采用一种拟线化的办法,根据N-S方程的求
解器由给定的(0)求出对应的(),相称于实现了线化小扰动方程(13):
首先,对已给定的H(0)+(0)=“.+sll(0),
其中8为预先选定的参数;推动
时间后能够得到U+(71);同样地,若给出初值U一(0)=.一H(0),时问推动后得到”一(T),于是能够
得到
?(14)
上式类似于中心差分,能够盼望(If+(T)一lf一(T))能消掉大部分的非
式的,(0)的初值能够随机给定,然后通过迭代以
符合流场规定;对于参数和的选择,Tezuka等指出,在很大范畴内,这两个参数的取值对成果影响很
小,表征了扰动强度的大小,在本文的计算中将其取为1,T的选用不超出流场周期的二分之一即可,本文取为
.
式(11)的特性值问题为
Au=Au.(15)
这里A为矩阵A的特性值,,则基本
流为稳定的,全部小扰动最后都会衰减;A的实部为正,则基本流不稳定,沿A所对应特性向量方向的小
扰动将会增加,若此时A的虚部为0,小扰动的增加会造成另外一种定常解,若虚部不为0,则会造成一种
.
QR办法是典型的求解特性值的办法,能够求出矩阵的全部特性值,这对三维状况的大型矩阵是难以实
现的,并且整体稳定性分析也没有必规定出全部特性值,我们只关心最占优的那几个,普通的做法是采用
子空间迭代法,如Arnoldi办法.
能够证明式(13)矩阵曰的特性向量也是矩阵A的特性向量,且矩阵A和曰的特性值存在以下关系:
.
(16)
于是,为得到矩阵A的实部最大的特性值,只需求出矩阵曰的模最大的特性值.
Tezuka等较具体地介绍了采用基本的Arnoldi办法求解特性值问题的过程,并在三维不可压缩流动
,
想要的特性信息,,所需要的存储量和计算量也急
剧增加,,一种很
好的办法是采用重启的Arnoldi办法,其思想是从Hessenberg矩阵中将我们需要的特性信息压缩到1个
第1期辛晓峰等:三维可压缩绕球流的整体线性稳定性研究l3
或若干个矢量中,再以此为起点重新进行Arnoldi分解,这个过程持续重复下去,直至收敛(本文将其收敛
准则取为10).在对特性值的求解过程中有可能会碰到某些非物理的特性值,这些特性值不是真实存在
的,也不含有特定的扰动模态,普通只要更换计算参数即可排除.
对于绕流问题,实际计算中涉及到的边界条件重要有下列两种:
1)固壁边界条件
ufll:fll=ill=0,(17)
一Il
塑l:0:0pI.(18)
dnlIIdn{1l
根据边界层理论近似能够推知法向压力梯度为0;再根据完全气体状态方程和绝热边界条件推知法向
密度梯度为0.
2)远场边界条件
对可压缩问题,为确保问题的适定性,
远场边界的法向上,能够近似认为一维Euler方程成立,从而能够通过一维Euler方程特性线的方向决定边
界点上的值是由远场值给定,还是由内点外插获得.
计算采用的网格为构造化的O型网格,球体网格的生成采用球坐标系下轴对称旋成体生成办法,含有
高度的三维对称性,能够消除整体稳定性计算中由于网格不对称?(,×J×K)=
(137×129×69),计算过程中将网格分为32块,采用并行计算的办法,
每块网格节点数为(,×J×K)=
(35×33×35).网格生成的旋转方向,方向(360.)和K方向(180.)为均匀网格,径向为均匀加密的网格,
其最内侧(球壁面贴体最内一层)(D为球的直径,也为无量纲的特性长度),加密比例
,这样,计算域大小约为60D.
2计算实例与成果分析
根据直接数值模拟的成果,绕球流随Reynolds数的变化依次出现定常的轴对称流动,定常的平面对称
流动,..计算不可压缩流动的定常轴对称到平面对称的临界Reynolds数
;=200,M=
似不可压缩(弱可压缩)流动,以期与已有的不可压缩成果作比较;同时着重计算了含有较强可压缩作用下
的Re=300,M=.
对三维流动,其非定常流动时的基本流求解是很困难的,而对定常流动的基本流求解则相对容易一