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第七章 空间解析几何与向量代数
一、向量代数（A:§,§；B:§） Ⅰ、内容要求
（ⅰ）理解空间直角坐标系，掌握两点间距离公式，中点公式，自学定比分点公式.
（ⅱ）理解向量的概念（向量，单位向量，模，方向角，方向余弦，分向量与投影）及其坐标表达，了解向径的坐标表示与点坐标表示之间的关系.
（ⅲ）掌握向量的线性运算，数量积与向量积及其坐标表示，自学混合积. （ⅳ）学会用向量代数方法解决有关向量间位置关系的问题. Ⅱ、基本题型
（ⅰ）有关空间直角坐标系下点坐标的问题. 1．（4'）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A ），，（432-
B ），，（432-
C ），，（432--
D ），，（432--. 2．（6'）若)0,3,1(),3,1,1(B A -，则AB 中点坐标为__________；=||AB __________. 3.（7'）求),,(c b a 点关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点坐标. 4．（4'）若点M 的坐标为),,(z y x ，则向径OM 用坐标可表示为__________.
5．（8'）一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.
6．（7'）已知)4,2,1(--A ，),2,6(t B -，且9||=，求（1）t ；（2）线段AB 的中点坐标.
（ⅱ）有关向量概念及向量线性运算的坐标表示.
7．（8'）设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算21M M 的模、方向余弦、方向角及单位向量.
8．（6'）若γβα,,为向量a
的方向角，则=++γβα2
22cos cos cos ____________；
=++γβα222sin sin sin ____________.
9.（6'）设）（8,5,3=m ，）（7,4,2--=n 和）（4,1,5-=p ，求向量p n m a
-+=34在x 轴
上的投影及在y 轴上的分向量.
10．（6'）已知点P 的向径OP 为单位向量，且与z 轴的夹角为6π
，另外两个方向角相等，求点P 的坐标.
11.（6'）已知向量a 与各坐标轴成相等的锐角，若32||=a
，求a
的坐标. （ⅲ）向量的数量积与向量积及其坐标运算.
12．（4'）下列关系式错误的是------------------------------------------------------------------（ ）.
A a b b a ?=?
B a b b a ?-=?
C 22||a a =
D 0=?a a
. 13．（7'）设）
（2,1,3-=a
，）（1,2,1-=b
，求b a
? a
? 14.（7'）设)3,0,1(),2,1,1(),2,3,2(=-=-=c b a ，求.)(c b a
??
（ⅳ）用向量的坐标来判断向量间的特殊位置关系，会求一向量在另一向量上的投影. 15．（每题4'）确定下列各组向量间的位置关系： （1）)2,1,1(-=a
与)4,2,2(--=b
；
（2）)1,3,2(-=a
与)2,2,4(-=b .
16．（7'）求向量)4,3,4(-=a
在向量)1,2,2(=b 上的投影.
（ⅴ）用向量积来计算有关平行四边形和三角形的面积问题.
17．（7'）已知：k i 3+=，k j 3+=，求OAB ?的面积.
18．（7'）ABC ?三顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为),(),,(),,(332211y x C y x B y x A ，则如何用向量积的方法来求出ABC ?的面积？
19．（7'）试找出一个与)1,1,0(),1,2,1(==b a 同时垂直的向量.
Ⅲ、综合计算题型
（ⅰ）涉及到代数向量（即用坐标表达式表示的具体向量）的综合计算问题. 20．（10'）已知三点)2,1,2(),1,1,1(),1,2,2(321M M M ，（1）求321M M M ∠； （2）求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.
21．（8'）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求一点C ，使ABC ?的面积最小. *Ⅳ、提高题型
（ⅰ）用“几何向量”（即不涉及到坐标表达式的向量）来处理有关向量问题.
22．（7'）已知：c b a ,,为单位向量，且满足0 =++c b a ， c c b b a ?+?+? 23．（7'）设5||,4||,3||===c b a 且0 =++c b a ，求c b ?；.||a c c b b a ?+?+?
24．（8'）设b a k B b a A +=+=,2，已知2||,1||==b a |，且θ=∧),(b a ，πθ>-++r R r
z y x
（ⅲ）简单的二元初等函数极限计算. 4．（每题5'）求下列各极限：
（1）)
ln(1)ln(lim )1,1(),(y x e e y x y x +++→；
（2）
2
439lim
)
0,0(),(-+-+→xy xy y x ;
（3）
y x y
x y x -+→32lim
)0,0(),(.
（ⅳ）简单的二元初等函数连续问题. 5．（4'）是非题：
一切二元初等函数在定义域内都连续（ ）. 6．（每题5'）求下列函数的间断点： （1）1ln 2
2
-+=y x z ; （2）=
z 12
2
y
x -.
Ⅲ、提高题型
（ⅰ）用定义讨论连续问题.
7．（7'）证明??
???=≠+=).0,0(),(,0),
0,0(),(,),(22y x y x y x xy
y x f 在)0,0(处不连续.
8．（7'）证明???
????
=≠+=).0,0(),(,0),0,0(),(,),(2
2y x y x y x xy y x f 在)0,0(处连续.
二、偏导数（A §,§,§; B §,§, §）
Ⅰ、内容要求
（ⅰ）理解二元函数偏导数的概念，记忆偏导与连续的关系.
（ⅱ）掌握具有明确解析式的多元初等函数偏导数及二阶偏导数的计算. （ⅲ）掌握二元复合函数一阶偏导数的链式法则，学会计算二阶偏导数. （ⅳ）了解隐函数概念及其存在定理，学会计算一元、二元隐函数一阶偏导. Ⅱ、基本题型
（ⅰ）多元初等函数的偏导计算. 9．（每题7'）求下列函数的偏导数或偏导数值: （1）)ln(xy z =
，求
;x
z
?? （2）y x z 2
tan
=，求
;,y
z
x z ???? （3）设y
x
y x y x f arcsin )1(),(-+=，求);1,(x f x （4）设z
y x
u =，求);2,2,3( ),2,2,3( ),2,2,3(z y x u u u
（5）设y
xy z )1(+=，求. ,y x z z
10．（每题7'）求下列函数的二阶偏导数或偏导数值:
（1）设133
2
3
+--=xy xy y x z ，求y x z ???2，x
y z ???2，);0,1(xx f
（2）设x y
z arctan =，求22x
z ??，;xy z
11．（7'）验证函数2
2
ln y x z +=，=??+??y
z
x z
（ⅱ）复合函数的偏导计算.
12．（7'）设v e z u
sin =，而xy u =，y x v +=，求
x z ??，
.y
z
??