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普通高维解析函数的外推 第11卷第3期
1998年9月
聊艘师院(白爨科学版1
Jour~[ofLiaochengTeachersUniversky(【.)
7//
……城;…
31
352059息学7//7("聊城师范学院数学系,山东聊城}"附中;"中国人民大学信息学院E京)f,
摘要:给出了普通高维解析
核心词!壹型竖堑垂墼垫
分类号;064
1引言及成果
函数的外推办法及外推的误差预计公式
一式
函数的外推是信号解决中一类重要的问题,频谱有限函数作为一类特殊的解析函数,
我们解决的函数大部分不是其外推问题已获得了非常丰富的成果0].但在实际中,
频谱
有限的,因而研究普通函数的外推问题无论在理论上还是在事实上都含有很重要的意
义.(5)
般高维解析函数的外推问题,给出了其外推办法及外推的误差预计公式.
下列我们重要考虑二维情形,更高维情形完垒类似,
设f(z,=:)是闭域^X上的解析函数,其中D一{=:I<R},D={:I <如},根据复分析的理论我们懂得若已知f(z)在[一丁,丁]X[一丁,丁:]上的值,这 里R1>丁,Rz>丁z,贝4函数f(z,),即是由函数在
(z,2:)的外推方
法,定理2给出了外推值与真值的误差预计公式.
定理1设f(z,z:)(z,z:)在E-T,T1X[一
z,丁z]上的函数值,m,,令
一ll2
.(z2)一??2:(1,2)exp~--2ai(/lz1/1+2z2/2)],(1). l
=L=.
式中{=(,2)}是下列线性方程组的解
_I_?
,(】T1/ra?2T./m2)=??z(1,2)expE--2耐(lnl=l/ra~+i2n2z./1)],(2)^1=1^
z
::用
式中一?n1?ml,一2??tit.,则当CRL>丁l,CR2>丁2时,(z1,z2) 上一致收敛于f(z,z),其中c—i/z-,/i~-+9.
收稿日期:1997一O9—01
聊城师院(自然科学版)第u卷
定理2设f(z?22)是m,xb(^,^.,为f(z)在
(州,X(件屿上的最大模?Mmax{缸pRl/T1,4R2/T2,2T:R1/(Tlln2),2R2/
(2In2)},则当1,2>M,(z1,2)?×时,有
'l,(z1,)一体(zt,)l<c(寺)"-:,(3)
式中c=[(1+P+2pb,)/(一1)]^exp{2(R1+R2)(1+2p)}.声>2,Rl>l,R2 >,.
2定理的证明
不失普通性,我们仅证T一==R的状况, =.
为了方便起见,令i(1,kD=z盥,(1一ml,kz--m2),1一O,1?2,…,2m;2:O,1, 2,…,2m2,则(1)与(2)式变为
2I2..I2
,2)=??i(1,)exp[-一2m~(kz/ml+2z2/m2)]exp[2+)],^/t2~O
(4)
与
2'22
f(n/mt,n2/m.)=??i(,)exp[一2ui(ktzt/m~"Fk..lm1)]^】一O?2一O ×expE2=i(n1/ml+2/m2)],一?1?l,一2?2?辨2.(5)
令
g】?(zl2/(2ui).Vz1.?O,(6)
P(2z)=??;(1,)2:z,(7)h1一O^20
式中1nz,1nz2均取主值支?于是P(z,z2)是g,(z,)在点{(zi)}的二元 lagrange插值多项式,(一2il/{),2—exp(一2ttin?/j),I1I?1, l2l?m2即
…I'
一
妻皇:[婴.'i"~1--gl1)'芸)]g)'(8)
根据(4),(5)式,我们有
1,z2)=P(exp(--2~izl/m1).exp(一2n'iz2/m2))exp[2=i1+)],(9)
f()=.(exp(--2uiz1/mI),exp(--2uiz2/m2))exp[2(+2)].(10)
令C.=,c.?1,由于f(z盹)在×, 使得f()在DXD+
n
2
m
一
)
n6
(2
/?
n
m
一
(厂
2
Z
ZI1
)
Z
第3期叶万洲等,普通高维解析函数的外推23 C~zx416(1-.}-3e1).+9,r2(1+导e1)./干?R<R+. 从现在开始,固定与e,并夸
^,一(1+2e.),一警(1+3e),‰一arci?,+2arcsin2,
D'一{,;IzjI<,l-l=j},Dz.,j一{,:IargzjI<,,.<lI<l+a叶),=aD.
若令ICz,l表达围线c.,的周长,则
ICz.,I一4a,+4,.(11)
下面我们阐明,当m,mz足够大时,I册2(,.)在西Xb. ,对于
任意(zl,zD?.,当m,
/
sin(arcsin~/)一!!E
arcsL?,arcsin~a'
即arcsin<z号?同理arcsin(^,/2)<
.<,<号(,+X一)-~z—r'4nc,~(1+3,1)+(1+2e)]一号(1+号c),(12) 又当(zl,za)?西×撕:时,l一^2.
?I2l?1+抽,
,因此
I二l一翌lll?皇,g生I
.2,,t
?__-???.............-.-._____-.-...........——
?
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4(1n(~))2+一aL',
萼;
<maxf
~ln(1一+Em,号6r~c~(1+]z
2,t
至受歪2*r
?[4e(1+3E1)]2-.I-E3xzC?(I-I-8~~)"].
<———————————一
厂————————————?一
16(I+3e1)+9,r2(1+鲁)
=—————于—一R=C1<R+E0,(13)?
16+9…
再者,(2l,22)在DR×,,(1,)在13×西:2上解析夸厨一 ,'t,:l那么根据(6)和(13)
Ig,(21,22)l?^f(1+.,)(1+2埘),V1,zDECXC.,(14) 当(,z)?_)c口×及lnl?m,Inl?.时,存在M>o使得,对于m,>M,有
聊城师院(自然科学版)第11卷
[exp(--2xizj卜1l?exp(2(1+E1)<~lmj,vInil?,,
与Iexp(一2xizj)_1l?exp(2.)<警(1+c1)<,
即((,h1,)),(exp(2,ci1/1),exp(2xizl/--m2))6Dr.】×na一2? 当(z1)EDXDm时,根据(8)及lagrange插值多项式的残数公式,有 gm1(zl,zD--P(1'zD
—
cz
--Z2~,
再者当(zl,zD6D..~D1,ECz,wzECz时
I一I?2,?,1,?,,lI?,
1一1/>~-2i,,l?,l?1+,
因此根据(14)得
Ig2(z1,zD--P1()I
?cc+cc"
×czllcl,
当(z1,z2)ED—cox时由(*)知exp(一2=izl/m1),exp(一2xiz2/m2)?D×D2因此, 根据(9)和(10),当,m2>M时,
l,(zD一(zl,zDI
一
[exp(2xi(zl+z2))g(exp(--2xiz~/m1),exp(--2xiza/m2))--
exp[2xi(z1+2)]P2(exp(--2xizl/m1),exp(--2xiz2/2))I
?exp(4不c.)去(1+)(1+抽)'2iimi)州()+1
i
^一
i
^l_2
/~/IcIIcI,
根据(11),(12)及(1+)?exp[4?c.(1+3)]得
lf(zlIz2)一(z1,z2)I
?exp(4'aC晷()2【唧[8l+3E1)][12co(1+号E】)+16'.(1+3,1)24.(1+)?2.(1+)
?exp[12?c.(1+3)]器({蛩)2(mr+~2-I-I)(6?+16?e1+8+24E1),(16)
由于}<1,故当,,If(Zl,Zz)一(z1,:)I在bco×上一致趋于0, 至此定理1证毕.
根据定理1证明中的(16)式,我们懂得f(z1,‰)与()的误差取决于E1,普通 ,无法给出f(z1,)与(z1,zD的误差预计
第3期叶万洲等:普通高维解折函数的外推
公式,下面我们给出在定理2的条件下f(z,)与(,z:)的误预计公式,其证明与 定理1的证明类似.
用,一4~rR/m,=4,xpR/m替代定理1证明中的,其它符号与定理1证 明中的符号相似.
当m>SRp时,^2.<7/2,于是我们有
0<.
<(I,
+.
)/2=2R(1+)/mj,(17)
与(13)式的预计类似,当(2'z?)?DXD.,<1即m,>p4~tR时 二[里刍27d??+2?+(-}-4)p?R<Or+3p)R=C2,(18)
又由于f(z,z)在西c2XD的解析,故g.(,zD在/3XD上解析,再由(6)及 (18),可得
Ig埘(z1,zz)I?..R(1+I)(1+2m:),V(z1Iz2)ED2×D.,
其中是f(z,2)在×c2上的最大模.
当(l,2)?/3RxbR时
Iexp(2niz】/m)一1I?(2rrR/mj)exp(2rcizl/mi), Iexp(2xinJ/mJ)一1I?(2~x/m)exp(2n/mi),InI?mi,
因此当>2积/1n2,即exp(2rrR/m,)<2时
exp(--2mz/mJ)一1I~4rrR/m,,Iexp(--2~tiz,/一1I?4R/,II?J, 上述不等式意味着当mj>2~xR/ln2时,对于In,I?,(.,)EDu,XDa (exp(一2/,)exp(一呈)?D
.
×D与(15)式的预计类似.
I,(zD--~l(za,zDI
~exp(4虚)(+l(+l(1"(1+
'cIIczI,
再根据(11),(17)式,我们有
IfO,~,22)一豫1(l,zDI
?exp(4(吾)2f1)(1+(1+(4鬟+4)
×{L一(4+44~pR)
(一1)4nR(一1)4R"
<(生.
a,aexp["41)](吾l+".
因此,若令M=max{4,xpR,2兀R/1n2)那么当ml,m2>M,(z】'z2)?DRXDR时,即可得(3)
式.
(下转第28页)
聊城师院(自然科学板)第11卷
==--f
综合(1)与(2),定理3成立.
参考文献
~[anctio~sthatshareonevaluewiththeirder[matlves,
:25O,259
,MuesandLVolkmann1Meronorphefunktionen1diemitihrertrstenundZweiten
,5
(1)51,71
?Ondeficienciesofdiffe~ntia[polynomials,,125:1074112
AnUniquenessProblemofEntireFunctions Leiwenqing
<ShandongYouthAdministrativeCadresCollege1Jinaa,250014)
Abstract:Inthispaper,Anuniquenesstheoremofentirefunctionsisgivenandsoa problemonentirefunctionsposedin[1]issolved.
Keywords:Entirefunctions,Uniqueness,CommonValue
(上接第25页)
参考文献
1Sanz,—
Limitedsig~[Extrapolation;inodels1discrete
?sASSP一3l(1983)11992,1501
——
,