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目的定位
能理解函数的奇偶性、周期性的概念，掌握判断某些简朴函数的奇偶性、周期性的办法
能运用函数的奇偶性、周期性解决某些如求函数值、函数体现式、函数的周期、函数图象等问题
知识梳理
奇偶性：普通的，对函数f(x),如果对于定义域内的每一种x，都有 _______________，那么函数f（x）就叫做奇函数，图像有关_____对称；都有 _______________，那么函数f（x）就叫做偶函数，图像有关_____对称，奇偶函数的定义域是有关________对称
：
①定义：
②判断办法：Ⅰ.定义法 环节：；
；
(-x)；
(-x)与f(x)或f(-x)与-f(x)的关系。
若f(-x)=f(x)，则函数f（x）为_______；
若f(-x)=-f(x)，则函数f（x）为_______；
Ⅱ图象法
③已知：H(x)=f(x)g(x)
若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相似，则在公共定义域内H(x)为_______
若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内H(x)为_______
已知：H(x)=f(x) g(x)
若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相似，则在公共定义域内H(x)和f（x）奇偶性_______
若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内H(x)的奇偶性无法判断
④惯用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝_______
：
奇函数在有关原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相似。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；
偶函数在有关原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）
如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是_______.
任意定义在R上的函数f(x)都能够唯一地表达成一种奇函数与一种偶函数的和。
即_____________________
④ 若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是有关原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是_______；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是_______ 。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则_______为函数f(x)的周期。
若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则_______为函数f(x)的周期.
课堂互动
知识点1 函数奇偶性的鉴定和应用
本节的内容是高考中常考的内容，也是高考考察的重点，普通会结合其它的知识点考察，解决判断函数的奇偶性，函数的求值，函数的解析式等问题
【例题1】判断下列函数的奇偶性：
1）． 2） 3）
【分析】重要运用函数奇偶性的判断根据进行鉴定，
【答案】 解：1）定义域： 有关原点非对称区间
∴此函数为非奇非偶函数
2）函数的定义域属于R,有
因此此函数为奇函数
3）
因此函数的定义域为
去掉绝对值符号得
又，因此函数为奇函数
【点评】函数奇偶性的考察首先要看其定义域与否有关原点对称，然后运用有关的概念或者结论解决问题,对于某些常见函数的奇偶性要熟悉
巩固练习
判断下列函数的奇偶性
1）的奇偶性___ 2）f(x)= (x Î R)
【例题2】 已知函数定义在R上，且对一切实数都有
，且. 求证：，且是偶函数；
【分析】本题涉及到抽象函数，证明过程中注意运用特殊值的思想
【答案】证明：当x=y=0时，有f(0)+f(0)=2f(0)f(0)
又,因此f(0)=1
当x=0时，带入中有
函数是偶函数
【点评】对于抽象函数性质的思考，要注意函数的原形是什么，能够用什么样的函数体现式来表达，另外，特殊的思想也要贯穿进去，某些特殊值，如1，-1，0等等，是能够非常快的帮我们找到函数的某些性质
巩固练习
定义在R上的函数f(x)满足：f(a+b)=f(a)+f(b)，（a，b为任意实数），
又当f＞0时，f(t)＜0，求f(0)，并判断f(x)的奇偶数
【例题3】设为实数，函数，．
（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值．
【分析】这是一种含有绝对值的二次函数，需要运用奇、偶函数的性质来协助我们解决第一种问题，如非零函数f(x),g(x)的奇偶性相似，则在公共定义域内H(x)和f（x）奇偶性相似，若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内H(x)的奇偶性无法判断，由于在定义域内为偶函数，因此我们要考察函数f（x）的奇偶性，则重点的考察的奇偶性，同时我们也要借助函数的性质，运用分类讨论的思想来解决某些函数极值问题
【答案】（1）当时，，此时为偶函数；
当时，，，
∴
此时函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）①当时，函数，
若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；
若，函数在上的最小值为，且．
②当时，函数，
若，则函数在上的最小值为，且；
若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值．
综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，
当，函数的最小值是．
【点评】函数的综合运用是考察的重点，在此题当中涉及到函数的奇偶性，单调性，极值，二次函数以及数学分类讨论的思想，对于这类综合问题的解决需从细处入手，做到胆大心细，挖掘题目的知识点
巩固练习
已知奇函数在定义域上是减函数且满足，求的取值范畴.
知识点2 函数的周期性
周期性重要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。
求周期的重要办法：①定义法；②公式法；③图象法；④运用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2|a-b|。
【例题4】已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一种周期
【分析】运用周期函数的定义对抽象函数的周期性进行证明，注意运用条件进行灵活的转化，
【答案】 证明：由于f(x＋m)＝－f(x)
因此，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]
＝－f(x＋m)
＝f(x)
因此f(x)是觉得2m周期的周期函数.
【点评】对于周期函数某些较常见的结论要理解和掌握其证明的办法
由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：
①函数满足，则是周期为2的周期函数；
②若恒成立，则；
③若恒成立，则.
④，则T= 2a
若函数有关及对称，则是周期函数且2是它的一种周期,
若既有关直线对称，又有关中心对称，则一定是周期函数，且是它的一种周期.
普通而言，如果函数的图象是双对称，则此函数是周期函数
巩固练习
已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－,求证:2m是f(x)的一种周期
【例题5】 定义在R上的函数f（x）满足，且当时，，求当时，f(x)的函数解析式
【分析】首先对条件进行分析，函数所满足的条件提供应我们的是什么样的信息，需要我们对其进行变形和化归，使之成为我们需要的、有用的信息，固然也能够运用有关的结论，找到突破口，在求函数解析式的时候抓住函数的本质，谁是自变量，什么是不变的。
【答案】
故此函数是以4为周期的周期函数
设 ，有，
（）
【点评】 会运用周期函数的概念和性质来解决有关函数的问题，如求值、求解析式、判断 函数的单调性等
巩固练习
定义在R上的函数满足，当时, =，求在区间[2，6]上的解析式.
知识点3：函数奇偶性、周期性的综合运用
奇偶性、周期性经常和函数，方程不等式结合使用，含有较强的综合性和灵活性，
在运用函数的奇偶性、周期性和其它知识的时候，要注意数学化归思想的运用。
【例题6】已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是奇函数,
求证:4m是f(x)的一种周期.
【分析】有关这类的问题普通和抽象函数结合，对于函数式的变形是核心，变形时注意变形的目的是什么，朝着这样的目的变形。事实上此题是要运用题目的条件使f(m＋x)＝f(m－x)变成f(x)＝f(x+4m) ，
【答案】证明：
又函数f（x）是奇函数，
因此4m是f（x）的一种周期
【点评】证明的过程中要有整体的观念，函数中的自变量是什么需要在变形的过程中非常的清晰，否则就会产生思维障碍，大家也要注意例题4背面的结论，这样的题型是很常见，它的变式也是诸多的。
巩固练习
以知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图象有关直线x=1对称。
（！）求f（0）的值
（2）证明函数f（x）是周期函数
【例题7】设函数f(x)的定义域有关原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；
(ii)存在正常数a使f(a)=：
(1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数，且有一种周期是4a.
【分析】解决这类问题要有目的意识，在证明的过程中所要达成的目的是什么，在证明中应当要非常明确
【答案】证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)=
=－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.
(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).
∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.
∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是觉得4a周期的周期函数
【点评】 学会运用函数的关系式进行变形，成为我们所需要的构造
巩固练习
函数R 是 （ ）
(A) 最小正周期为的偶函数 (B) 最小正周期为的奇函数
(C) 最小正周期为的偶函数 (D) 最小正周期为的奇函数
小试身手
【考题再现】
1．（广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. （上海春卷）已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时， .
3.（江苏卷）已知，函数为奇函数，则a＝
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1
4．（辽宁卷）设是R上的任意函数,则下列叙述对的的是
(A)是奇函数 (B)是奇函数
(C) 是偶函数 (D) 是偶函数
5.（安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则__________。
6． (山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 ( )
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
7．(福建卷)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．(重庆卷)若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范畴是 （ ）
A． B． C． D．（－2，2）
9． (广东卷)
设函数，且在闭区间[0，7]上，只有（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
【模拟训练】
1（杭州二次质检）
请举出一种反例: ______, 阐明命题“奇函数必存在反函数”是假命题
2（06学广西部分重点中学联考）
已知f(x)是R上的偶函数，对x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，若f(1)=2，则f()等于（ ）
A． B．2 C．1 D．0
3（06湖南第一次百校联考）
设函数是定义在实数集上的以3为周期的奇函数，若，则
A、 B、且
C、 D、
4（南京一模）.
设周期为4的奇函数的定义域为R, 且当时, ,
则值为 .
5（06荆州质检（I））
设是定义在R上的奇函数，且，
则
6.（06湖北八校第一次联考）
函数是定义域为R的偶函数，且对任意的，都有成立．当时，
（1）当时，求的体现式；
（2）若的最大值为，解有关x的不等式
教考链接
在这一节的学习当中，函数奇偶性、周期性的概念要理解，从形和数两个方面来理解函数的奇偶性，充足的运用函数的关系和图形的对称，函数的周期性的有关结论要能够推得，运用这些结论能够非常方便的协助我们很快的认识到函数的有关性质，达成解决问题的目的。有些小题是结合了函数这两个性质，更需要我们对它们的结论要理解，掌握推导的办法是什么，运用了哪些数学思想。
参考答案
知识梳理
f(-x)=-f(x)，原点，f(-x)=f(x)，y轴，原点
； 奇函数；偶函数；奇函数；相似；0
. f(x)= +;奇函数；偶函数 。
;2a
课堂互动
知识点1
例题1）巩固练习
1）偶函数 2）奇函数 （运用函数奇偶性，直接的验证即可）
例题2）巩固练习
1）令a=b=0，知f(0=2f(0)) ∴f(0)=0
令b=－a，则有f(0)=f(a)+f(－a)=0，∴f(－a)= －f(a)
∴f(x)为奇函数
例题3）巩固练习
例题4）巩固练习
证明：
因此2m是f(x)的一种周期
例题5）巩固练习．
解：（1）
又
例题6）巩固练习
解：(1)由于函数f（x）是定义域为R的奇函数
因此有f(0)+f(-0)=0,f(0)=0
(2) 由于函数图象有关直线x=1对称，因此有，
又函数f（x）是奇函数，
因此函数f（x）为周期函数
例题7）巩固练习 C
小试身手
【考题再现】
，可快速判断答案A
（x）在定义域R为偶函数，有f(x)=f(-x),
当时，有,
，则， 即，则a＝0，选A
4. A中则，
即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能拟定，即函数的奇偶性不拟定，
C中，，即函数为奇函数，D中，
，即函数为偶函数，故选择答案D。
如果在解题中懂得某些结论，能够更快的解决的问题
5．由得，因此，则
6. 定义在R上的奇函数f(x)有f(0)=0,
因此，选B
另解，在奇函数中题目的条件并没有出现函数值，因此要挖掘出隐含的条件f(0)=0，从答案上观察，B
7. 是定义在R上的以3为周期的奇函数, 有f(0)=0，，，，
因此当x=1、2、3、4、5时，对应的函数值为0，选D
8. 函数是定义在R上的偶函数，因此，
又函数在上是减函数, ,得
函数在上是增函数, ,得
综合得x的取值范畴是，答案D
9. 由于在闭区间[0，7]上，只有，故．若是奇函数，则，矛盾．因此，不是奇函数．
由
, 从而知函数是觉得周期的函数．
若是偶函数，则．又，从而．
由于对任意的（3，7]上，，又函数的图象的有关对称，因此对区间[7，11）上的任意都有．因此，，这与前面的结论矛盾．
因此，函数是非奇非偶函数．
【模拟训练】
1. 如或R)等
=-3时，带入f(x+6)=f(x)+f(3)，得到f(-3)=0,又函数f（x）是偶函数，因此f(3)=f(-3)=0，从而f(x+6)=f(x)，函数f（x）的周期为6，f（）=f（6*334+1）=f（1）=2
3. 由于函数是定义在实数集上的以3为周期的奇函数，
因此，，
解得，答案选C
4. 由题意可得
，因此，当x=1， ，
此函数的周期等于4，，同理，运用函数的周期性得答案0。
6.（1）当时，．
当时,,．
当时，，．
故当时，的体现式为
（2）∵是以2为周期的周期函数，且为偶函数，∴的最大值就是当时，的最大值．∵，∴在上是减函数，
∴，∴．
当时，由得或
得．
∵是以2为周期的周期函数，
∴的解集为