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第 17 卷 第 2 期离子体物理核聚变与等V o l. 17, N o. 2 1 9 9 7 年 6 月 1 9 9 7 and N uc lea r F u sio n P la sm a P h y sic s J une
托卡马克聚变堆中环向磁场
?
超导线圈的磁弹性弯曲与稳定性
周又和郑晓静
( )兰州大学力学系, 兰州 730000
本文针对托卡马克装置中超导载流磁体的磁弹性弯曲与稳定性问题, 运用 2定律和 B io tSava r t
曲梁弯曲理论, 给出了其环向磁场的超导载流线圈构造在本身电流产生的磁力作用下的磁弹性力
学模型。 所得到的控制方程反映了磁场与线圈变形之间的非线性耦合作用, 全方面描述了构造的轴向
拉伸、绕轴扭转、面内弯曲和面外弯曲等多种变形模式。 本文采用半解析半数值办法对控制方程进
行了定量求解, 获得了有关线圈形变和内力分布的定量成果。 通过其面外弯曲变形与外加电流的非
线性关系, 应用 图, 给出了线圈在磁弹性互相作用下发生磁弹性失稳的临界电流值, 并讨 So u thw e ll
论了临界电流随环向磁场线圈个数变化的规律。
核心词 载流线圈 磁弹性耦合作用 弯曲与稳定性
1 引言
现在, 在托卡马克热核聚变反映堆的概念设计和工程设计中, 为了产生足够强的环向磁场约束等离子体, 其载流线圈构造多采用超导材料制成。 随着超导强电流产生的强磁场, 线圈之
1, 2 间将受到强大电磁力作用, 致使线圈变形, 进而影响到电磁场和电磁力的分布。这种变形与 电磁场的互相耦合作用在本质上是非线性的。
3, 4 5, 6 和 等人先后对超导载流线圈磁弹性失稳进行了小型模拟实验 . . . FCM oo n KM iya
()研究, 并用动力法 即通过计算磁构造在电磁力作用下对应于线圈面外弯曲变形的固有频率
来预测线圈磁弹性失稳的临界电流。该办法不能描述线圈的变形, 且临界电流的理论预测值与
2 ()实验值相差较大 有时达 30% 。等人用三维有限元法讨论过螺旋型超导线圈的 . OM o to jim a
() 弯曲 强度问题, 但因其计算量过大而未考虑变形对磁力的影响。 这样, 其理论模型成为线性 的, 不可能预测出线圈的磁弹性失稳。 文献7, 8 对三线圈部分环构造的磁弹性弯曲与失稳建 立了一新的理论模型, 全方面反映了磁构造的多种变形模式, 刻画了电磁弹性的非线性耦合作
()用。 所得到的临界电流理论预测值与实验测试值相一致 相对误差< 5% 。
本文将文献 7, 8 的理论模型推广到托卡马克装置的整体模拟装置中, 即环向磁场的磁体
沿环向轴对称放置。 电流所产生的磁场采用 2定律计算; 构造变形采用小变形的曲B io tSava r t
梁弯曲理论, 得到的控制方程是一组 12 阶的非线性常微分方程。通过采用半解析半数值办法, 即齐次方程的封闭解与数值特解以及迭代法相结合, 有效地获得了其非线性问题的弯曲解。在
此基础上, 由面外弯曲变形的挠度与外加电流的非线性关系, 得到线圈磁弹性失稳的临界电
流。 最后, 通过对不同超导线圈数构成的托卡马克装置预测其磁弹性失稳的临界电流, 给出临
界电流线圈数目变化的规律。
2 电磁力计算
由于超导载流线圈构造大多由 或N b T i
超导细丝固化在铜基体中构成, 其磁N b 3 Sn
场分布是非常复杂的。文献 7 给出了计算磁
力的简化模型, 即认为超导电流沿线圈的横
截面均匀分布, 然后视为常规导体进行磁力
计算。 记托卡马克装置中环向线圈磁体数为
N 且轴对称放置, 如图 1 所示。将磁体力向形
心线简化后, 可得到作用在形心线处的线分
布磁力 和磁力偶 。 设 为所考察形心线 q Cr 0
( ) 上任一点 即场点的位置矢径, 为该点相 r r i
( ) 对于其它线圈 标号为 截面形心上的任一 i () 点 即源点的位置矢径。 设各线圈所载电流 () 图 1托卡马克环向 8 线圈整体俯视图 和 a 相似且为 , 则得:I () 型线圈示意图 D b
n- 1 2 d r × r ΛI 0 r i 0 ( ) ()e× 1 x q r 0 =3 ? ?4Π si rri i = 1
( ) () 2 0 C r 0 =
其中 为场点 点处形心线的单位切向矢量, 指向电流流向; 为矢量 的大小。 考虑到线eX r 0 rri r r i
圈的变形后, 有关系式:
= ( ) ()r R + U r 3 ri ri 0
这里 为线圈在场点 处的位移矢量; 为 U r0 R ri 变形前场
点与源点的相对位移矢径。这样, 线 圈变形的影响被计
入电磁力的计算中。
3 线圈变形的控制方程
对于图 2 所示的局部坐标系 X Y Z , 内力
矢量 N = N ex + Q y ey + Q zez , 内力偶矩矢量 M
= + + , 位移矢量 = + M x ex M y ey M zez U u ex v ey
+ , 磁力矢量 = + + , 而 、w ez q qx ex qy ey qzez exey 和 为局部坐标系的单位矢量。ez 图 2 线圈的局部与整体坐标系
19 第 2 期周又和等: 托卡马克聚变堆中环向磁场超导线圈的磁弹性弯曲与稳定性
对于平面圆形载流磁体, 在略去变形对平衡位形的影响后, 由曲梁理论不难得到以矩阵形
7 式表达的平衡方程:
dP () ()()=S P x + 4 q x dx
T T () () 其中 = ], = - - 0 0 0 , P x N Q y Q z M x M y M z q x qx- qz qy
0 0 0 0 0 - 1R ƒ
S = S = 0 S = 0 0 0 0 1 11 22 21
0 0 1R 0 - 1 0 ƒ
S 11 S 12 S = O S = 12 3×3S S 21 22
这里 为线圈形心线半径。R
考虑到轴向拉伸、弯曲变形和扭转变形的互相影响, 可得到下列几何方程:
() ()()()du d Υx 1 w dv x x x + + Σ = Εx =dx x R dx dR ()5 22 ()Υx ( ) ()()dw x ()d v x 2 du x w x + + + ς= ς= - y 2z 22 dx dx dx R R R
其中 Εx 为形心线轴向拉伸应变, Σ为绕 x 轴扭转变化量, ςy 和 ςz 分别为形心线变形后有关 y 轴 和 轴方向的曲率变化量。 z 对于线圈的
线弹性变形, 物理方程为:
M M M N xz y ()Ε= Σ = ς= ς= - 6 x z y ?E F E J E J yz
这里 E 为超导线圈的等效拉伸杨氏模量; ? =G k 为横截面有关 x 轴的扭转刚度, G 为等效剪切
() 模量 E、G 可由复合材料办法获得, 见文献5; F 为横截面积; J 和 J 分别为横截面有关 、y z yz
轴的惯性矩。
在托卡马克装置中, 普通线圈制成 型, 其中直线段固定。设直线段与圆弧部分的两交点D
为 x = x 和 x = x 。对于可变形的圆弧部分, 在该点处可视为固定夹紧。 这样, 边界条件为:0 N
w ddv ()Υ= 0, =7 x = U = 0, 0, = 0 x 0 和 x = x N : dx dx
() () 于是, 式 4—式 7构成描述超导磁体变形的基本方程。 由于磁力体现式与变形有关, 这组边
值问题方程是非线性的。
4 计算办法
() () 为了有效地求解式 4—式 7构成的高阶非线性常微分方程组, 我们将采用半解析半数值办法。 记:
dv dwT ()8 Y = N Q Q M M M u g v w ]y z x y z dx dx
T ()9 f = - - - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 qqqX y z
() () 则式 4—式 6可化为下列矩阵形式:
() dY x () () ()=A Y x + f [ Y x , x ] 10 dx
7 () 其中 为对应于式 8未知函数的系数矩阵。 A
4. 1 齐次方程的通解
() 对于方程 10的齐次方程, 其通解的封闭形式可用解析函数给出, 即:
()() () 11 Yx = G x Cr g
() ( ) 其中 G x 为由基本解构成的 12×12 阶矩阵且为非奇异的 见文献 7 ; C 由 12 个积分常数
构成的 12×1 阶的列阵。
4. 2 非齐次方程的数值特解
() () 由于方程 10是非线性的, 即非齐次项中含未知函数 的高阶项, 因此采用迭代法求 Y x
解, 即在某一假定位移构型
() ()() = 12 Y x Yx n
() () ( 再依此电磁力计算下一平衡构型 内力下, 先计算作用在构造上的电磁力 = [ n , , f x f Yx x
) 和位移。 这种迭代过程能够统一表为:
() dYn + 1 x () () () 13 = A Yn+ 1 x + f [ Yn x , x ]dx
() () (() )而求非齐次方程的特解就是对式 13求出有关 n+ 1 的特解部分 此时 n 为已知。由于 Yx Yx
磁力分布的复杂性, 要找到解析特解非常困难。为此, 将采用数值特解。将区间[ , ]分割成x 0 x N 等分, < < << , 由差分法可得到特解的递推式为:N x 0 x 1 x 2 x N
() () () () ()i = 0, 1, 2, N - 1 14 Ys x i+ 1 = Ys x i + {A Ys x i + f [ Yn x i , x i } ?x i
() () 由微分方程理论知: 特解与边界条件无关。因此, 任给一组初始边界值 Ys x 0 , 便可由式 14得
() () 到一组数值特解。 再与解析通解式 11一起构成方程 10的普通解。4. 3 初参数法拟定积分常数
() () () 由式 111410和式 不难得到微分方程式 的普通解表达为:
()() () ()15 Yx = G x C + Yx n+ 1 s
( ) ( ) () = 表达, 不难得, 这里 x 在 x i i= 0, 1, N 上取值。 将解式 14变换为用初参数 Y0 Y x | x = x 0
到:
() () () () ()16 Yn+ 1 x = T x Y0 + Ys x - T x Ys0
- 1 () () () () 其中 = [0], = | 。 进而有: T x G x G Ys0 Ys x x = x 0
()() () 17 Y= T x Y+ Y- T x YN N 0 sN N s0
() ( 再考虑边界条件式 7, 便可得到拟定未知初参数的线性代数方程组 其阶数是仅与边界数目
)() 有关的 6 阶代数方程组。求解后便可得到全部的初参数值 。再由解式 16就可得到第 +Y0n
() 1 步的迭代解。 重复上述求非线性方程 10的迭代过程, 直到解满足精度条件:
21 第 2 期周又和等: 托卡马克聚变堆中环向磁场超导线圈的磁弹性弯曲与稳定性
() () ()18 | Yx - Yx | < ? n+ 1 n
() 为止。 这样就得到了载流线圈在给定电流值下的磁弹性弯曲解 内力与变形。
数值成果5
( ) 为了与实验成果进行对比, 采用文献 5 中的材料和几何参数 见表 1, 其中 和I M o de l
? 是用来区别两组不同的几何与材料常数的。 图 3 展示了 8 线圈的托卡马克模拟装置M o de l
表 1 超导线圈磁弹性失稳临界电流的理论值与实验值
- 1材料与几何参数 临界电流ƒ〃匝 A 线圈类型 ( )误差 理 论 值 99ƒ10ƒ10b ƒE P a GP a mm h mm R mm a mm ƒƒƒ实验值 6 ]本 文 等人 . KM iya 三线圈部分环 ( )( )34 3. 3 14 0. 9 67 90 114. 0 100. 0 - 12. 28% 114. 5 0. 44% ()I m o de l
三线圈部分环 ( )( )27 3. 4 9 0. 6 64. 5 90 47. 8 37. 0 - 22. 59% 49. 3 3. 14% ()m o de l ? ( ( 八线圈托卡马克 63. 2 - 19. 39% - 86. 11 9. 83% - 27 3. 4 9 0. 6 64. 5 90 78. 4- 79. 6 )) - 20. 60% 8. 18% 环向线圈
中线圈 面 外 弯 曲 变 形 的 最 大 横 向 挠 度 V m ax - 1 ( ) 随外加电流 〃匝的变化关系, 依此作 A
出的对应 图, 见图 4。 其直线斜率 So u thw e ll
的倒数即表达了超导线圈磁弹性失稳时临界
电流值的平方。据此, 可获得临界失稳的电流
值。 在表 1 中, 列出了本文所得成果与文献
5 中已有实验成果的对比, 表明本文成果与
实验值相一致。 与此同时, 表中的成果表明: