文档介绍：第三章离散系统的时域分析
LTI离散系统的响应
一、差分与差分方程
与连续时间信号的微分及积分运算相对应,离散时间信号有差分及序列求和运算。
设有序列,则称
为的移位序列。
序列的差分可分为前向差分和后向差分。
一阶前向差分定义:
一阶后向差分定义:
前向差分和后向差分的关系:
本书主要采用的是后向差分,简称差分。
差分运算具有线性性质。
二阶差分可定义为:
类似可定义三阶、四阶、…n阶差分。N阶差分
式中
序列的求和运算为
差分方程是包含关于变量k的未知序列及其各阶差分的方程式,它的一般形式可写为:
式中差分的最高阶为n阶,称为n阶差分方程。
各阶差分均可写为及其各移位序列的线性组合,故上式常写为:
若各移位序列的系数为常数,则方程为常系数差分方程。
例:若描述某离散系统的差分方程为:
已知初始条件,激励,求
解:将差分方程中除以外的各项都能移到等号右端,得
对于,将已知初始值代入上式,得
类似地,依次迭代得
二、差分方程的经典解
一般而言,如果单输入—单输出的LTI系统的激励,其全响应为,那么,描述该系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程,它可以写为:
式中都是常数上式可缩写为
差分方程的解由齐次解和特解两部分组成:
齐次解:
当差分方程中的激励及其各移位项均为零时,齐次方程的解为齐次解。
首先分析最简单的一阶差分方程。若一阶差分方程的齐次方程为
它可改写为:
之比等于-a表明,序列是一个公比为-a的等比级数,因此有如下形式:
对于n阶齐次方程,它的齐次解由形式为的序列组合而成,将代入到差分方程中,得:
由于,消去C,且,以除上式,得
为差分方程的特征根。
特征根λ
单实根
一对共轭复根
r重实根
R重共轭复根
齐次解y h (k)
不同特征根所对应的齐次解
齐次解