任个n阶实对称矩阵与对角阵相似证明.doc

文档介绍：定理3 对于任一个n阶实对称矩阵, 都存在正交矩阵, 使得
,
其中是的n个特征值.
证对n用数学归纳法.
当n=1, 结论显然成立.
假设当时结论成立, ,是属于的实单位特征向量,则:
,
根据第三章正交化过程可知,必能找到个维实单位向量(未必是特征向量), 使为两两正交的单位向量组, 令=(), 则为正交矩阵, 且
=
=
因为
()
记
所以,
因为是k-1阶实对称矩阵, 所以由归纳法假设,存在k-1阶正交矩阵, 使得
.
令
显然, 为正交矩阵, 且
===.
令, 因为为正交矩阵, 故为正交矩阵, 且
由归纳法, - - 8