文档介绍：第五章:相似矩阵及二次型
本章要求:1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质,熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法.
2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件.
3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法.
4. 理解二次型的定义,掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法.
5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性.
§1 向量的内积、长度及正交性
内容:向量的内积;内积的性质;向量的长度(范数);长度的性质;单位向量;施瓦茨不等式;n 维向量x与y的夹角;正交;正交的向量组一定线性无关;规范正交基;基的规范正交化;施密特正交化过程;正交矩阵;方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量,且两两正交;方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量,且两两正交;正交矩阵A的n个列(行)向量构成向量空间 Rn 的一个规范正交基;正交变换;正交变换不改变线段的长度.
重点:正交的向量组一定线性无关;施密特正交化法;基的规范正交化;正交阵判定的两种方法.
§2 方阵的特征值与特征向量
内容:矩阵的特征值与特征向量;A 的特征方程;A 的特征值就是特征方程的解;A 的特征多项式;
若λ是 A 的特征值,则也是的特征值;特征值互不相等,则对应的特征向量线性无关.
重点:熟练掌握特征值和特征向量的求解方法;特征值的性质;特征值互不相等,则对应的特征向量线性无关.
§3 相似矩阵
内容:相似矩阵;相似变换;相似变换矩阵;若 n 阶矩阵 A 与 B 相似,则 A 与 B 的特征多项式相同,从而 A 与 B 的特征值也相同;
设,则有
1)
2)若n阶矩阵A与相似,则即为A的n个特征值.
重点:矩阵可对角化的条件:n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似(即 A 能对角化)的充分必要条件为A 有 n 个线性无关的特征向量;若 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等,则A 与对角矩阵相似.
§4 实对称矩阵的对角化
内容:实对称矩阵的特征值和特征向量的性质:实对称矩阵的特征值为实数,对应的特征向量可以取实向量;对称矩阵的特征值若不相等,则对应的特征向量正交;实对称矩阵的对角化:对称矩阵一定能对角化.
重点:实对称阵 A 对角化的步骤:
1)求出A的全部互不相等的特征根,他们的重数依次为
2)对每个重特征值,求方程的基础解系,得个线性无关的
、单位化,,故总共可得n个两两正交的单位特征向量.
3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P,便有注意中对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序相对应.
§5 二次型及其标准形
内容:二次齐次多项式;二次型;实二次型;复二次型;二次型 f 的矩阵;对称矩阵 A 的二次型;二次型的秩;二次型的标准形;二次型的规范型;矩阵A