文档介绍：1 如图1,在正方体中,为的中点,AC交BD于点O,求证:平面MBD.
证明:连结MO,,∵DB⊥,DB⊥AC,,
∴DB⊥平面,而平面∴DB⊥.
设正方体棱长为,则,.
在Rt△中,.∵,∴. ∵OM∩DB=O,∴⊥平面MBD.
2 如图2,是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥:BC⊥平面PAC.
证明:在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D.
因为平面PAC⊥平面PBC,且两平面交于PC,
平面PAC,且AD⊥PC, 由面面垂直的性质,得AD⊥平面PBC. 又∵平面PBC,∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,平面ABC,∴PA⊥BC.
∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.
3 如图1所示,ABCD为正方形,⊥平面ABCD,:,.
证明:∵平面ABCD,
∴.∵,∴∵平面SAB,∴.∵平面AEFG,∴.∴平面SBC.∴.同理可证.
4 如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,
作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥:AH⊥平面BCD.
证明:取AB的中点F,连结CF,DF.
∵,∴.
∵,∴.
又,∴平面CDF.
∵平面CDF,∴.
又,,
∴平面ABE,.
∵,,,
∴平面BCD.
5 如图3,是圆O的直径,C是圆周上一点,⊥PC ,E为垂足,F是PB上任意一点,求证:平面AEF⊥平面PBC.
证明:∵AB是圆O的直径,∴.
∵平面ABC,平面ABC,
∴.∴平面APC.
∵平面PBC,
∴平面APC⊥平面PBC.
∵AE⊥PC,平面APC∩平面PBC=PC,
∴AE⊥平面PBC.
∵平面AEF,∴平面AEF⊥平面PBC.
6. 空间四边形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,求证:AC⊥BD
证明:过A作AO⊥平面BCD于O
同理BC⊥DO ∴O为△ABC的垂心
7. 证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D
证明:连结AC
AC为A1C在平面AC上的射影
8. 如图,平面ABCD,ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点,求证:
. 证:取PD中点E,则
9如图在ΔABC中, AD⊥BC, ED=2AE, 过E作FG∥BC, 且将ΔAFG沿FG折起,使∠A'ED=60°,求证:A'E⊥平面A'BC
分析:
弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系.
解:
∵FG∥BC,AD⊥BC
∴A'E⊥FG
∴A'E⊥BC
设A'E=a,则ED=2a
由余弦定理得:
A'D2=A'E2+ED2-2•A'E•EDcos60°
=3a2
∴ED2=A'D2+A'E2
∴A'D⊥A'E
∴A'E⊥平面A'BC
10如图, 在空间四边形SABC中, SA^平面ABC, ÐABC = 90°, AN^SB于N, AM^: ①AN^BC; ②SC^平面ANM
分析:
①要证AN^BC, 转证, BC^平面SAB.
②要证SC^平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,