文档介绍：Chapter 5 定积分计算
Abstracts:留数定理及其应用——定积分、积分主值
留数定理和留数的求法(Residue theorem and residue calculations)
留数的定义:设是函数的孤立奇点(isolated singularity),即除过点以外函数是解析的,则在的留数定义为,其中为绕的闭曲线(积分沿正方向进行)且内部无其它奇点,记号为或.
(1)有限远孤立奇点的留数:在邻域内(不含其它奇点)的罗朗级数(Laurent series)展开的次幂项的系数称为在奇点的留数。即.
此定义基于如下的事实:
,其中.
令函数沿以孤立奇点为中心的一个圆周积分
,
而所以.
可见,级数中仅仅项对积分有贡献,积分后唯有这个系数留下来,故名之为留数(residue).
(2)无穷远点的留数:在以为中心,环内(不含其它奇点)的罗朗级数展开的次幂项的系数的反号称为在点的留数。即(此定义直观)。
这是因为:对于无穷远点,以为展开中心、在区域里展开的罗朗级数与以为中心、在区域展开的罗朗级数有相同的形式: 换言之,以为中心、在区域展开罗朗级数亦可,其中任意(实际为的邻域)。(Chapter 1:无穷远点只有一个,其模,而幅角不定)。
同时注意到,对无穷远点的邻域来讲,的正方向为顺时针方向。因此,
2. 留数定理:如果在区域D中有个孤立奇点,而除了这些奇点外,是解析的,那么
其中分别是围绕奇点的小圆周(反方向, 与外界同方向),再根据复连通域的柯西定理(Cauchy’s theorem),可以得到
,
是区域D的外境界线,也可以是境界线之内的任一条闭合曲线,只要它包围个孤立奇点并且沿确定(正)方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。
[留数定理]:如果函数在闭曲线所围的区域内,除具有有限个孤立奇点(isolated singularities)外是解析的,在上也是解析的,则
沿的回路积分(逆时针方向)等于在内所有奇点的留数之和的倍,即
留数定理的推论:若在闭复平面内(包括无穷远点)除有限个孤立奇点外处处解析,则在全平面上全部留数之和为零(挖去所有奇点并且计及无穷远点):
说明:
* 留数定理表明了解析函数沿闭曲线的积分与它的孤立奇点之间的关系,体现了解析点与奇点的内在联系。这是解析函数在不同点取值之间的相互关联这个性质的又一表现,即它是单(复)通域Cauchy定理的推广(变形)。
** Laurent series的负幂次由有限内环内的奇异性引起,其积分方向为
Laurent series的正幂次由有限内环以外(即外环以外甚至直接至)的奇异性引起,其积分方向为.
*** 可以是函数的奇点亦可以不是奇点,只要存在它就是无穷远点的留数
留数的求法(Residue calculations)
(定义是定义,定理是定理,计算留数是另一回事)。
罗朗级数法: 一般地,对于本性奇点,例如中含指数函数、三角函
数()等,虽然极点是高阶的,罗朗级数展开有无穷多项,但
是我们仅仅需要与相关的项即可,这样往往比较简单。
可去奇点:若是的可去奇点(),有限, 则
注意:即使点是的可去奇点,其留数也不一定为,除非在一切有限远点的留数之和为. 例如,,
, .
高阶极点(Multiple pole,high order pole):若是的m阶极点,即,
则.
[证明]: 如果是的阶极点,则在这点的邻域内罗朗级数是
,
取极限后右端只留下项,即. 所以
.
(4) 单阶极点(Simple pole): 当时,为单极点.
特别地,如果可以写成的形式,其中和均在点解析,而且为的一阶零点,即那么
.
(5)根据定义:,其中为绕一圈的闭曲线且其内部无其它奇点,积分沿正(沿奇点的反)方向进行。
5. 例题(Examples)
Example 1. 求函数在,,点的留数。
[解] 分别是本性奇点,一阶奇点和一阶零点。
法一(Expand to the Laurent series):
是的本性奇点,因此,将在的邻域作罗朗级数展开
.
设并且(其余的虽然复杂,但是我们用不到),则
故
(全复平面留数之和为零)。
法二(Formula):
是的一阶极点,因此
将在的邻域作罗朗级数展开
.
Example 2. 求函数在点的留数。
[解一]
[解二] 是的五阶极点,因此
(X)Example 3. 求函数在点的留数。
[解] 是的三阶极点,因此
(X)Example 4. 求函数的留数。
[解]是的三阶极点,是本性奇点,因此
(X)Example5. 求函数在(为整数)的留数。
[解一]是的单极点,因此
[解二]
Ex