文档介绍：第四章:曲线坐标系张量分析
张量场函数:
笛卡尔坐标系下
坐标线:只变化一个曲线坐标时,矢径的轨迹。
直线坐标系下,坐标线都是直线。
当,,,坐标线中至少有一个是曲线时,称为曲线坐标系
协变基:
所以:
基矢量的导数
基矢量的导数还是矢量,因而可以用基矢量的线性组合表示:
其中称为第二类Christoffel符号,称为第一类Christoffel符号。Christoffel符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。事实上:
指标对称性
第二类Christoffel符号的两个协变指标用于指示哪一个基矢量(第二个协变指标)对哪一个曲线坐标(第一个协变指标)求导数。
由此可见,Christoffel符号相对它的两个协变指标是对称的。
②不是张量
在直线坐标系中,由于基矢量不随坐标而改变,所以第二类Christoffel符号全部为零。如果它是张量,它在任意坐标系中都应是零。
③与第一类Christoffel符号之间的联系
由于Christoffel符号的第三个指标是矢量的分量指标,所以可以通过度量张量进行升降。
④逆变基矢量的导数
⑤与度量张量分量导数之间的关系
(a)
(b)
(c)
(b)+(c)-(a)
例题:求对曲线坐标的导数
Hamilton 算子
梯度
定义
散度
它的涵义是:
旋度
Hamilton 算子是一种具有坐标不变性微分算子,计算结果与坐标系的无关:
例如:
设张量,则有:
其中: 张量分量的协变导数。
将协变指标i替换为哑指标m
与相乘(s为求导坐标标号)
普通偏导数
将逆变指标i替换为哑指标m
与相乘(s为求导坐标标号)
由于:
可见张量分量的协变导数是张量。
度量张量的协变导数为零
置换张量的协变导数为零
张量分量的缩并与求协变导数次序可交换:
求导
缩并
缩并 i,k指标:
先缩并后求导(自由指标减少2个)
设则有:
因此:
Riemann-Christoffel 张量
(二阶张量)
互换k,j指标,可得:
可以证明:
(后两个指标为求导指标;前两个指标为分量指标)
是张量,称为藜曼曲率张量(Riemann-Christoffel)(构成法:将Christoffel 符号的m指标看作张量指标求协变导数,将Christoffel 符号的m指标看作张量指标求协变导数,两者相减)
藜曼曲率张量描述的是空间的性质。欧式空间中我们中可以选取全局直线坐标使Christoffel符号全部等于零,因此,欧式空间的特征是藜曼曲率张量等于零,矢量(张量)的偏导数次序可以交换。三维空间中的曲面可以看成是二维空间,如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零,则这张曲面就可以展开成平面(曲面上一段曲线的长度等于展开后平面上直线段的长度)。如圆柱面、锥面。通过将R-C张量表达为度量张量的函数,可以证明:
①关于前两个指标反对称
()
关于后两个指标反对称
()
前两个指标可以和后两个指标互换
()
三维空间中,只有6个独立分量:
二维空间中,只有是独立分量
积分定理
预备定理:
互换i,k哑指标
注:
在一个曲面上,定义为矢量面积微元,其中为面积微元中心点处曲面外法线方向矢量(单位向量)
取一个六面体,如图所示。
六面体左侧的面积矢量
六面体底面的面积矢量
六面体前面的面积矢量
左侧的面积矢量与右侧的面积矢量方向不同;右侧的面积矢量可以看作是左侧面积矢量函数的负值仅仅改变第一个曲线坐标而得到。
所以:
类似地有:
所以
体积分与面积分之间转换定理
从以上分析中不难看出:
因此,对于六面微元体:
两个微元体拼接在一起时,上式对每一个微元体都成立,因此:
然而,由于公共界面处的面积微元大小相等方向相反,等式左端与相等。其中为合成后的微元体的外表面。
任意形状的空间区域,都可以看作是六面微元体的组合。因而:
同理可以证明:
其中算子可以是点积‘’,叉积‘’和并乘‘’。()
这两个等式把张量的面积分转化为张量的体积分,是张量形式的Green公式。
线积分与面积分之间转换定理
对开口曲面S1取一平面面积微元,则沿面元边界的积分
所以
然而
所以,对平面微元:
由于两个平面微元拼装在一起后,上式对拼装后的曲面微元依然成立;而任意曲面可以看作是平面微元的组合,所以上式对一般的曲面成立。
设
其中是张量
然而