文档介绍：考研线性代数电子讲义
主讲:尤承业
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请提前预****认真学****及时复****预祝广大考研学子考研成功!
第一讲基本概念
线性方程组的一般形式为:
其中未知数的个数和方程式的个数不必相等。
线性方程组的解是一个维向量(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数都用替代时都成为等式。
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解。
对线性方程组讨论的主要问题有两个:(1)判断解的情况。(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解。
的线性方程组称为齐次线性方程组。
维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解。因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解)。
把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组,简称导出组。
(1)基本概念
矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展。
由个数排列成的一个行列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个型矩阵。例如
是一个矩阵,对于上面的线性方程组,称矩阵
和
为其系数矩阵和增广矩阵。增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息。
一个矩阵中的数称为它的元素,位于第行第列的数称为位元素。
元素全为的矩阵称为零矩阵,通常就记作。
两个矩阵和相等(记作),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等。
由个数构成的有序数组称为一个维向量,称这些数为它的分量。
书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是的向量可表示成
或,
请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是矩阵,右边是矩阵****惯上把它们分别称为行向量和列向量。(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别。)
一个的矩阵的每一行是一个维向量,称为它的行向量;每一列是一个维向量,称为它的列向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵的列向量组为时(它们都是表示为列的形式!)可记。
矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为的向量称为零向量,通常也记作。两个向量和相等(记作),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等。
(2)线性运算和转置
线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明。
加(减)法:两个的矩阵和可以相加(减),得到的和(差)仍是矩阵,记作,法则为对应元素相加(减)。
数乘:一个的矩阵与一个数可以相乘,乘积仍为的矩阵,记作,法则为的每个元素乘。
这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:
①加法交换律:。②加法结合律:。
③加乘分配律:。。
④数乘结合律:。⑤或。
转置:把一个的矩阵行和列互换,得到的的矩阵称为的转置,记作(或)。有以下规律:
①。②。③。
转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了。当是列向量时,表示行向量,当是行向量时,表示列向量。
向量组的线性组合:设是一组维向量,是一组数,则称
为的(以为系数的)线性组合。
维向量组的线性组合也是维向量。
(3)阶矩阵与几个特殊矩阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为的矩阵也常常叫做阶矩阵。
把阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线。(其上的元素行号与列号相等。)
下面列出几类常用的阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的。
对角矩阵:对角线外的元素都为的阶矩阵。
单位矩阵:对角线上的元素都为的对角矩阵,记作(或)。
数量矩阵:对角线上的元素都等于一个常数的对角矩阵,它就是。
上三角矩阵:对角线下的元素都为的阶矩阵。
下三角矩阵:对角线上的元素都为的阶矩阵。
对称矩阵:满足矩阵。也就是对任何位的元素和位的元素总是相等的阶矩阵。
(反对称矩阵:满足矩阵。也就是对任何位的元素和位的元素之和总等于的阶矩阵。反对称矩阵对角线上的元素一定都是。)
矩阵有以下三种初等行变换:
①交换两行的位置。
②用一个非0的常数乘某一行的各元素。
③把某一行的倍数加到另一行上。(称这类变换为倍加变换)
类似地,矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了。初等行变换与初等列变换统称初等变换。
阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:
①如果它有零行,则都出